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Hypothesen-Test linksseitig
Beispiel:
Eine Pharmafirma behauptet, dass durch eine Verbesserung der Rezeptur die Nebenwirkungen eines Medikaments unter p=0,5 gesunken ist. Um dies nachzuweisen, soll ein Test mit 88 Probanden so durchgeführt werden, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit maximal 5% beträgt, dass der Test auf eine niedrigere Nebenwirkungshäufigkeit hinweist, obwohl dies in Wirklichkeit nicht der Fall ist. In welchem Intervall muss hierfür die Anzahl der Probanden mit Nebenwirkungen liegen? Wie hoch ist dann diese Irrtumswahrscheinlichkeit?
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 30 | 0.0019 |
| 31 | 0.0037 |
| 32 | 0.0069 |
| 33 | 0.0123 |
| 34 | 0.0211 |
| 35 | 0.0347 |
| 36 | 0.0546 |
| 37 | 0.0827 |
| 38 | 0.1204 |
| 39 | 0.1687 |
| ... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.5 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.5 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(88,0.5,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 35 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.5 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.5 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0347 =3.47% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;35]
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [36;88]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;35], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [36;88], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test rechtsseitig
Beispiel:
Durch einen Test soll statistisch belegt werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p> 0,45 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p≤0,45 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=43 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 1% betragen.In welchem Bereich muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese statistisch begründet ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese fälschlicherweise abgelehnt, weil bei dem Zufallsexperiment ein Treffer in den Ablehnungsbereich fällt, obwohl die Nullhypothese richtig ist?
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 22 | 0.8329 |
| 23 | 0.898 |
| 24 | 0.9424 |
| 25 | 0.97 |
| 26 | 0.9857 |
| 27 | 0.9937 |
| 28 | 0.9975 |
| 29 | 0.9991 |
| 30 | 0.9997 |
| 31 | 0.9999 |
| ... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.45 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.45 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 1% ist.
Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.01= 0.99 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(43,0.45,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 27 erstmals mindestens 99% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;27]
Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 28 Treffern beginnt.
Ablehnungsbereich von H0: [28;43]
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.45 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.45 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0063 =0.63% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [28;43], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;27], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Hypothesen-Test rechtsseitig
Beispiel:
Ein Basketballspieler behauptet, er habe bei Freiwürfen seine bisherige Trefferwahrscheinlichkeit von p=0,2 inzwischen verbessert. Sein Trainer glaubt ihm sich das nicht. Um seine Verbesserung zu überprüfen, wird ein Signifikanz-Test mit 64 Würfen des Basketballspieler vereinbart. Dabei soll die Irrtumswahrscheinlichkeit berechnet werden können, dass man aufgrund des Test eine höhere Treffer-Quote annimmt, obwohl dies in Wirklichkeit gar nicht der Fall ist. In welchem Intervall müssen die Treffer liegen, damit sich der Spieler auf einem Signifikanzniveau von 0,1% bestätigt sieht? Wie hoch bleibt dabei die Irrtumswahrscheinlichkeit.
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 18 | 0.9579 |
| 19 | 0.9778 |
| 20 | 0.989 |
| 21 | 0.9949 |
| 22 | 0.9978 |
| 23 | 0.9991 |
| 24 | 0.9996 |
| 25 | 0.9999 |
| 26 | 1 |
| 27 | 1 |
| ... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≤ 0.2 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p>0.2 ist, also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 0.1% ist.
Das heißt, dass der Nicht-Ablehnungsbereich von H0 (hier blau eingefärbt) auf der linken Seite mindestens 1-0.001= 0.999 Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen muss.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(64,0.2,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 23 erstmals mindestens 99.9% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit ausmachen.
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;23]
Dies bedeutet für den eigentlich gesuchten Ablehnungsbereich H0 dass dieser erst bei 24 Treffern beginnt.
Ablehnungsbereich von H0: [24;64]
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.2 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p>0.2 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0009 =0.09% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [24;64], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [0;23], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Fehler 2. Art
Beispiel:
Ein Großhändler beklagt sich, dass gelieferte LED-Leuchtmittel mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,31 bereits nach wenigen Stunden defekt werden. Die herstellende Firma glaubt das nicht und hält die Ausschussquote für viel geringer. Deswegen führt sie einen Test mit 85 Leuchtmitteln durch. Als Signifikanzniveau für diesen Test wird 5% festgelegt. a) In welchem Bereich muss die Anzahl der defekten LED-Leuchtmittel liegen, damit die Firma die Aussage des Großhändlers widerlegt? b) In Wirklichkeit liegt die Ausfallwahrscheinlickeit der Leuchtmittel nur bei p=0,13. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test trotzdem die Anzahl der defekten Leuchtmittel nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist und somit - irrtümlicherweise - die falsche Nullhypothese nicht verworfen wurde?
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 13 | 0.0007 |
| 14 | 0.0018 |
| 15 | 0.004 |
| 16 | 0.0083 |
| 17 | 0.0162 |
| 18 | 0.0297 |
| 19 | 0.051 |
| 20 | 0.0826 |
| 21 | 0.1266 |
| 22 | 0.184 |
| ... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p ≥ 0.31 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.31 ist, also ist es ein linksseitiger Hypothesentest. Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieses Bereichs gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: y1=binomcdf(85,0.31,X) ), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 18 weniger als 5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in diesem Intervall, wäre das bei Gültigkeit von Nullhypothese H0: p=0.31 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p<0.31 als statistisch abgesichert betrachten darf. Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von 0.0297 =2.97% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;18]
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [19;85]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in den Ablehnungsbereich von H0: [0;18], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [19;85], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
In dieser Aufgabe ist ja aber H0:p=0.31 falsch, weil ja in Wirklichkeit p=0.13 ist.
Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass bei dem Test die Trefferanzahl nicht in den Ablehnungsbereich gefallen ist, sondern in den Bereich von 19 bis 85, so dass H0 (irrtümlicherweise) nicht verworfen wurde.
Diese Wahrscheinlichkeit (mit dem richtigen p=0.13) beträgt nun: =1- ≈ 1-0.988 ≈ 0.012
Mit 1.2% Wahrscheinlichkeit landet also das Ergebnis des Test im Nicht-Ablehnungsbereich (im Histogramm oben: blauer Bereich), so dass die falsche Nullhypothese nicht verworfen wird.
zweiseitiger Test
Beispiel:
Durch einen Test soll statistisch untermauert werden, dass eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p≠0,6 ist. Dazu soll die Nullhypothese H0: p=0,6 mit einer zufälligen Stichprobe (praktisch als Zufallsexperiment) der Größe n=98 verworfen werden. Die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit α soll dabei 5% betragen. In welchen Bereichen muss die Anzahl der Treffer bei der Stichprobe liegen, um die Nullhypothese p=0,6 statistisch untermauert ablehnen zu können? Wie groß ist in diesem Fall die Irrtumswahrscheinlichkeit?
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 47 | 0.0105 |
| 48 | 0.0176 |
| 49 | 0.0285 |
| 50 | 0.0444 |
| 51 | 0.067 |
| ... | ... |
Dieser Hypothesentest wird gemacht um die Nullhypothese H0: p = 0.6 zu verwerfen. Der Test soll bestätigen, dass p<0.6 oder p>0.6 ist, es ist ein zweiseitiger Hypothesentest.
Wir suchen somit den Ablehnungsbereich der Nullhypothese H0 auf der linken und auf der rechten Seite so, dass die Gesamt-Wahrscheinlichkeit dieser beiden Bereiche gerade noch kleiner als das Signifikanzniveau 5% ist.
Dazu teilen wir das Signifikanzniveau 5% gerecht auf 2.5% auf der linken und 2.5% auf der rechten Seite.
Linke Seite:
Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung an (TI: binomcdf mit n=98 und p=0.6), so erkennt man, dass die Trefferzahlen links im Interval zwischen 0 und 48 gerade noch weniger als 2.5% der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Damit haben wir den linken Teil des Ablehnungsbereichs
| k | P(X≤k) |
|---|---|
| ... | ... |
| 66 | 0.9453 |
| 67 | 0.9651 |
| 68 | 0.9787 |
| 69 | 0.9875 |
| 70 | 0.993 |
| ... | ... |
Rechte Seite:
Auch am rechten Rand darf der Ablehnungsbereich höchstens 2.5% Gesamtwahrscheinlikeit auf sich vereinen, das bedeutet, dass der gesamte Bereich links vom rechten Ablehnungsbereich mindestens 1 - 0.025 = 0.975 als Wahrscheinlichkeit haben muss.
In der Tabelle links erkennt man, dass bei k=68 erstmals ≥ 0.975 ist (links in der Tabelle in blau dargestellt). Das bedeutet, dass das Intervall von 69 bis 98 das größte ist, das am rechten Rand eine Gesamtwahrscheinlichkeit von unter 2.5% hat.
Der Ablehnungsbereich auf der rechten Seite ist somit von 69 bis 98.
Kommt nun bei einer Stichprobe/Zufallsexperiment eine Trefferzahl in eines dieser beiden Intervalle, so wäre das bei Gültigkeit der Nullhypothese H0: p=0.6 so unwahrscheinlich, dass man diese Nullhypothese verwerfen kann und somit p≠0.6 als statistisch abgesichert betrachten darf.
Dabei bleibt jedoch eine (Rest-) Irrtumswahrscheinlichkeit von
=
0.0176 auf der linken Seite und
= 1-0.9787
= 0.0213 auf der rechten Seite.
Insgesamt ist somit die Irrtumswahrscheinlichkeit
PIrr = 0.0176 + 0.0213 = 0.0389
=3.89% (dass die Nullhypothese doch stimmt und wir sie irrtümlicherweise verworfen haben)
Ablehnungsbereich von H0: [0;48] und [69;98]
Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [49;68]
Entscheidungsregel: Fällt die Anzahl der Treffer in einen der Ablehnungsbereiche von H0: [0;48] oder [69;98], so ist die Nullhypothese zu verwerfen, fällt die Anzahl der Treffer in den Nicht-Ablehnungsbereich von H0: [49;68], so muss die Nullhypothese beibehalten werden.
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)
Fehler 1. Art beurteilen
Beispiel:
Der Hersteller eines Männershampoos bewirbt sein Produkt damit, dass es bei 80% aller Probanden die kahlen Stellen am Kopf wieder zuwachsen lassen würde. Weil bei Verbraucherschützern Zweifel daran aufkommen, lässt die Firma einen Hypothesentest mit 600 Männern durchführen, die täglich das Shampoo benutzen müssen. Dabei soll das Risiko auf 20% begrenzt werden, dass aufgrund des Tests auf diesen werbewirksamen Prozentsatz verzichtet wird, obwohl dieser der Wirklichkeit entspricht.
Entscheide dich, welche der angebotenen Nullhypothesen für diesen Test verwendet werden muss.
Wir betrachten jede der 4 möglichen Nullhypothesen im Detail:
1. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 20%
Die Nullhypothese H0: " ... mindestens 20%", also p ≥ 0.2 macht keinen Sinn, weil die 20%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.
In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=80% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.
2. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt mindestens 80%
Wenn die Nullhypothese H0: " ... mindestens 80%", also p ≥ 0.8 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p < 0.8 ist - also ist es ein linksseitiger Hypothesentest.
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im linken (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 20% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≥ 0.8 doch stimmen sollte.
Die Wahrscheinlichkeit, p ≥ 0.8 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 20%.
In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≥ 0.8 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p < 0.8 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit nicht mehr mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl dieser richtig ist, auf unter 20% begrenzt werden könnte.
Mit dieser Nullhypothese kann also ein Test die gegebenen Vorgaben erfüllen.
3. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 20%
Die Nullhypothese H0: " ... höchstens 20%", also p ≤ 0.2 macht keinen Sinn, weil die 20%" ja die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit angibt, also wie groß höchstens die Wahrscheinlichkeit ist, dass einen das Ergebnis des Hypothesentests zu einer falschen Annahme führt.
In der Nullhypothese muss es doch aber um die eigentlich angezweifelte Wahrscheinlichkeit p=80% gehen, also den Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt.
4. Der Prozentsatz der Männer, bei denen das Shampoo wirkt, beträgt höchstens 80%
Wenn die Nullhypothese H0: " ... höchstens 80%", also p ≤ 0.8 lautet, soll ja der Test "bestätigen", dass p > 0.8 ist - also ist es ein rechtsseitiger Hypothesentest.
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Test im rechten (orangen) Ablehnungsbereich kleiner als das Signifikanzniveau α = 20% sein muss, falls die Nullhypothese H0: p ≤ 0.8 doch stimmen sollte.
Die Wahrscheinlichkeit, p ≤ 0.8 abzulehnen, obwohl es stimmt, ist somit kleiner als 20%
In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit p ≤ 0.8 irrtümlicherweise abzulehnen, damit p > 0.8 anzunehmen (obwohl dies falsch ist), und somit weiterhin mit diesem hohen Prozentsatz zu werben, obwohl er in Wirklichkeit niedriger ist und eine Klage von Verbraucherschützern riskieren, auf unter 20% begrenzt werden könnte.
Mit dieser Nullhypothese würde man also ein anderes Risiko absichern, als das im Aufgabentext geforderte.