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Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Summe:
${(3 c + 4 d)}^{2}$

Man erkennt, dass man hier die

1. binomische Formel: (a+b)²=a²+2ab+b²

anwenden kann.

also ${(3 c + 4 d)}^{2}$ = ${(3 c)}^{2} + 2 \cdot 3 c \cdot 4 d + {(4 d)}^{2}$ = $9 c^{2} + 24 c d + 16 d^{2}$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $16 x^{2} - 72 x + 81$

Wegen des gemischten Terms in der Mitte ( $- 72 x$ ) kann man hier höchstens eine der beiden ersten binomischen Formeln anwenden.

Wegen des negativen Vorzeichens des gemischten Terms ( $- 72 x$ ) bleibt nun nur noch die
2. Binomische Formel: (a-b)²=a²-2ab+b²
als Möglichkeit:

Und tatsächlich sind sowohl der erste Summand ( $16 x^{2}$ ) als auch der letzte ( $81$ ) Quadratzahlen.

Für a könnte man dann $4 x$ und für b dann $9$ einsetzen

Und tatsächlich stimmt auch der gemischte Term $- 72 x$ = -2⋅ $4 x$ ⋅ $9$

Das Ergbenis wäre dann also: ${(4 x - 9)}^{2}$

Zur Sicherheit können wir das Ergebnis ja wieder ausmultilpizieren:

also ${(4 x - 9)}^{2}$ = $4 x \cdot 4 x + 4 x \cdot (- 9) - 9 \cdot 4 x - 9 \cdot (- 9)$ = $16 x^{2} - 72 x + 81$

Beispiel:

Schreibe den folgenden Term mit Hilfe einer binomischen Formel als Produkt oder Potenz: $4 x^{2} + 24 x + 36$

(Im Ergebnis dürfen nur ganze Zahlen auftreten.)

$4 x^{2} + 24 x + 36$

Zuerst klammern wir den gemeinsamen Faktor $4$ aus.

$4 (x^{2} + 6 x + 9)$

Durch Anwendung der 1. binomischen Formel erhalten wir:

$4 {(x + 3)}^{2}$

Beispiel:

Bestimme ◇ und ☐, so dass die Gleichung stimmt:
${(x + ◇)}^{2}$ = $x^{2} - 6 x + ☐$

Der gemischte Term $- 6 x$ auf der rechten Steite muss ja wegen der Binomischen Formel 2⋅a⋅b, also in diesem Fall 2⋅x⋅◇ sein.

$- 6 x$ = 2⋅x⋅◇

also $- 3$ x = x⋅◇

somit gilt: ◇= $- 3$

Dadurch gilt auf der rechten Seite für den letzten Summanden ☐=b², also in diesem Fall ☐=◇²= $(- 3)$ ²

somit gilt: ☐= $9$