Mathebattle EduRandomtasks

nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- e^{6 x} + 6$ = 0

Lösung einblenden

$- e^{6 x} + 6$	=	0	\| $- 6$
$- e^{6 x}$	=	$- 6$	\|: $- 1$
$e^{6 x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
$6 x$	=	$\ln (6)$	\|: $6$
$x$	=	$\frac{1}{6} \ln (6)$	≈ 0.2986

L={ $\frac{1}{6} \ln (6)$ }

Exponentialgl. mit 2 e-Termen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 e^{x} + e^{- 3 x}$ = 0

Lösung einblenden

$- 2 e^{x} + e^{- 3 x}$	=	0
$(- 2 e^{4 x} + 1) \cdot e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 2 e^{4 x} + 1$	=	0	\| $- 1$
$- 2 e^{4 x}$	=	$- 1$	\|: $- 2$
$e^{4 x}$	=	$\frac{1}{2}$	\|ln(⋅)
$4 x$	=	$\ln (\frac{1}{2})$	\|: $4$
x₁	=	$\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{2})$	≈ -0.1733

2. Fall:

e^{- 3 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{2})$ }

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Ein Staat verliert jedes Jahr 6% seiner Bevölkerung. Wann hat sich die Bevölkerung halbiert?

Lösung einblenden

Die prozentuale Abnahme um 6% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 6% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{6}{100}$ ⋅B = (1 - $\frac{6}{100}$ ) ⋅ B = 0,94 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=0,94.

Mit der Formel für die Halbwertszeit gilt: T_H = log_a( $\frac{1}{2}$ ).

Also T_H = log_0.94( $\frac{1}{2}$ ) ≈ 11.2 Jahre

Exponentialgl. Substitution BF

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$e^{2 x} - 3 e^{x} - 18$ = 0

Lösung einblenden

e^{2 x} - 3 e^{x} - 18

Diese Gleichung kann durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden!

Setze u = $e^{x}$

Draus ergibt sich die quadratische Gleichung:

$u^{2} - 3 u - 18$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 18)}}{2 \cdot 1}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 + 72}}{2}$

u_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{81}}{2}$

u₁ = $\frac{3 + \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3+9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = $6$

u₂ = $\frac{3 - \sqrt{81}}{2}$ = $\frac{3-9}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - (- 18)$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $18$ = $\frac{9}{4}$ $+$ $\frac{72}{4}$ = $\frac{81}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{81}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{9}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{9}{2}$ = $\frac{12}{2}$ = 6

Rücksubstitution:

u₁: $e^{x}$ = $6$

$e^{x}$	=	$6$	\|ln(⋅)
x₁	=	$\ln (6)$	≈ 1.7918

u₂: $e^{x}$ = $- 3$

e^{x}

- 3

Diese Gleichung hat keine Lösung!

L={ $\ln (6)$ }