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Ableiten (ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{4}{9} x^{3}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{4}{9} x^{3}$

$f'(x) =$ $x^{3} + \frac{4}{3} x^{2}$

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 x^{2} + 4$ und gib die Steigung von f an der Stelle x=-1 an:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 x^{2} + 4$

=> $f'(x) =$ $10 x + 0$

= $10 x$

f'(-1) = $10 \cdot (- 1)$ = $- 10$

Ableiten nach Umformung

Beispiel:

Forme zuerst um. Berechne dann die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 3) \cdot x$ .

Lösung einblenden

Zuerst formen wir den Funktionsterm so um, dass man ihn leicht ableiten kann:

$f(x) =$ $(- 5 x^{3} + 3) \cdot x$

= $- 5 x^{3} \cdot x + 3 \cdot x$

= $- 5 x^{4} + 3 x$

Jetzt wird abgeleitet:

$f'(x) =$ $- 20 x^{3} + 3$

Ableiten mit vorher vereinfachen

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $(x + 4) \cdot 4 x + 5 x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

Als erstes sollten wir den Term mal vereinfachen, damit er sich danach viel einfacher ableiten lässt.
Dazu multiplizieren wir als erstes das Produkt aus:

$f(x) =$ $(x + 4) \cdot 4 x + 5 x^{2}$

= $4 x^{2} + 16 x + 5 x^{2}$

= $4 x^{2} + 5 x^{2} + 16 x$

= $9 x^{2} + 16 x$

$f'(x) =$ $18 x + 16$

Ableiten ganzrational mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $4 t x^{4} - t x^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $4 t x^{4} - t x^{2}$

$f'(x) =$ $16 t x^{3} - 2 t x$

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Ableitung der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 6 x$ den Wert -2 hat, also dass f '(x) = -2 gilt.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - 6 x$

$f'(x) =$ $x^{2} - 6$

Diese Ableitung muss ja = -2 sein, also setzen wir $x^{2} - 6$ = -2.

$x^{2} - 6$	=	$- 2$	\| $+ 6$
$x^{2}$	=	$4$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{4}$	= $- 2$
x₂	=	$\sqrt{4}$	= $2$

L={ $- 2$ ; $2$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 2$ ) = ${(- 2)}^{2} - 6$ = $- 2$

f '( $2$ ) = $2^{2} - 6$ = $- 2$

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2}$ parallel zur Geraden y = $- 3 x + 2$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x + 2$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $2$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{2} x^{2}$

$f'(x) =$ $x$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $x$ = -3.

x

=

- 3

L={ $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 3$ ) = $- 3$ = $- 3$

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $3 x + 8 (x + 6) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 21)$ parallel zur Geraden y = $- x - 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Um die Funktion später einfach ableiten zu können, sollten wir sie erstmal vereinfachen:

f(x) = $3 x + 8 (x + 6) + \frac{1}{6} x^{2} \cdot (2 x + 21)$

= $3 x + 8 x + 48 + (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2})$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 3 x + 8 x + 48$

= $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 11 x + 48$

Die Gerade y = $- x - 4$ hat als Steigung m = -1 und als y-Achsenabschnitt c = $- 4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein.
Es muss also f '(x) = m = -1 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{7}{2} x^{2} + 11 x + 48$

$f'(x) =$ $x^{2} + 7 x + 11 + 0$

= $x^{2} + 7 x + 11$

Diese Ableitung muss ja = -1 sein, also setzen wir $x^{2} + 7 x + 11 + 0$ = -1.

x^{2} + 7 x + 11

=

- 1

|

+ 1

$x^{2} + 7 x + 12$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 48}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{- 7 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7+1}{2}$ = $\frac{- 6}{2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{- 7 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{- 7-1}{2}$ = $\frac{- 8}{2}$ = $- 4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{2})}^{2} - 12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $12$ = $\frac{49}{4}$ $-$ $\frac{48}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{7}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{7}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{8}{2}$ = -4

x₂ = $- \frac{7}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{6}{2}$ = -3

L={ $- 4$ ; $- 3$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = ${(- 4)}^{2} + 7 \cdot (- 4) + 11 + 0$ = $- 1$

f '( $- 3$ ) = ${(- 3)}^{2} + 7 \cdot (- 3) + 11 + 0$ = $- 1$

Ableiten an einem Punkt mit Parameter

Beispiel:

Für welches t hat die Steigung der Tangente an den Graph von f mit $f(x) =$ $t x^{2} + x$ im Punkt (1|f(1)) den Wert -5?

Lösung einblenden

$f(x) =$ $t x^{2} + x$

=> $f'(x) =$ $2 t x + 1$

Jetzt setzen wir x = 1 in die Ableitungsfunktion f' ein:

= $2 t \cdot 1 + 1$
= $2 t + 1$

Dieser Wert soll ja den Wert -5 besitzen, also gilt:

$2 t + 1$	=	$- 5$	\| $- 1$
$2 t$	=	$- 6$	\|: $2$
$t$	=	$- 3$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Ableiten (ganzrational)

Ableiten an einem Punkt (nur ganzrational)

Ableiten nach Umformung

Ableiten mit vorher vereinfachen

Ableiten ganzrational mit Parameter

Stelle mit f'(x)=c finden (algebr.)

Stelle mit gleichem m wie best. Gerade

Stelle mit f'(x)=c finden (komplexer)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Ableiten an einem Punkt mit Parameter