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Winkel in Uhr
Beispiel:
Wenn es 1:30 Uhr ist, wie groß ist dann der Winkel α zwischen den beiden Zeigern?
Gesucht ist der kleinere Winkel.
Die Uhr setzt sich aus 12 gleich großen Sektoren für die 12 Stunden zusammen. Also muss der Winkel zwischen zwei Stunde-Strichchen immer genau 360°:12 = 30° sein.
Der Winkel zwischen 12 Uhr und 1 Uhr ist also 1 ⋅ 30° = 30°.
Um 1:30 Uhr ist aber der kleine Stundezeiger genau in der Mitte zwischen 1 und 2, also ist der Winkel zwischen der 12 oben und dem (kleinen) Stundezeiger 30° + 15°, also 45°.
Gesucht ist ja aber der Winkel zwischen den beiden Zeigern. Und weil der große Minutenzeiger ja auf der 6, also 180° weg von der 12, steht, können wir einfach die Differenz der beiden Winkel (jeweils zwischen Zeiger und 12) berechnen:
180° - 45° = 135°
Somit ist der gesucht Winkel 135°.
Winkel messen/schätzen
Beispiel:
Wähle die passende Winkelgröße für den eingezeichneten Winkel α.
Wenn man das Geodreieck richtig anlegt, erkennt man, dass der gegebene Winkel 280° sein muss.
Winkel zu 180° ergänzen
Beispiel:
Berechne den eingezeichneten Winkel α.
Der blaue Winkel mit 75° und α ergeben zusammen einen gestreckten Winkel, es gilt also:
75° + α = 180°
Also muss α doch 75° kleiner als 180° sein:
α = 180° - 75° = 105°
Innenwinkel Dreieck
Beispiel:
Zeichne das Dreieck ABC mit A(2|1), B(8|1) und C(4|6) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.
Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann folgende Winkel abmessen:
α ≈ 68°
β ≈ 51°
γ ≈ 60°
Winkel im KoSy konstruieren (<180°)
Beispiel:
Zeichne die Punkte A(9|4) und B(0|3) in ein Koordinatensystem.
Zeichne den Winkel α = 23° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.
Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.
Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(2|0).
Innenwinkel +Winkeleinteilung
Beispiel:
Zeichne das Dreieck ABC mit A(1|2), B(5|6) und C(1|7) in ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm und miss die drei Innenwinkel.
Wenn man das Dreieck ABC ins Koordinatensystem einzeichnet, kann man folgende Winkel abmessen:
α ≈ 45°
β ≈ 59°
γ ≈ 76°
Weil der größte Winkel γ = 76° < 90° ist, ist das Dreieck spitzwinklig.
Winkel im KoSy konstruieren
Beispiel:
Zeichne die Punkte A(0|5) und B(3|5) in ein Koordinatensystem.
(Zeichne dabei die y-Achse in die Mitte des KoSy, so dass die x-Achse mindestens von -5 bis 5 zu sehen ist.)
Zeichne den Winkel α = 281° so, dass A der Scheitel ist und B auf dem ersten Schenkel liegt.
Der zweite Schenkel schneidet die x-Achse im Punkt S. Lies die Koordinaten dieses Schnittpunkts S ab.
Wenn man die Punkte A und B in das Koordinatensystem eingezeichnet hat, muss man darauf achten, dass man den 2. Schenkel des Winkels im positiven Drehsinn (also gegen den Uhrzeigersinn) einzeichnet.
Dann erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse bei S(1|0).
Winkel von Kreisausschnitten
Beispiel:
(Alle Sektoren sind gleich groß)
Bestimme die Mittelpunktswinkel α der einzelnen Sektoren.
Wir können insgesamt 9 gleich große Sektoren erkennen.
Zusammen ergeben die 9 Sektoren einen vollen Kreis mit 360°, also gilt für den Mittelpunktswinkel eines Sektors:
α = = 40°
Kreiswinkel aus Säulendiagramm
Beispiel:
Daten
Bei einer Datenerhebung wurden 45 Personen befragt, die sich für eine der Optionen A, B, C oder D entscheiden müssen.
Das Ergebnis wurde im nebenstehenden Säulendiagramm veranschaulicht.
Bestimme jeweils die Mittelpunktswinkel der jeweiligen Sektoren, wenn dieses Ergebnis in einem Kreisdiagramm dargestellt werden soll.
Wir lesen zuerst die Werte aus dem Säulendiagramm ab: A: 8, B: 8, C: 18, D: 11
Zur Kontrolle, dass man nicht falsch abgelesen hat, kann man die Werte auch nochmals addieren: 8 + 8 + 18 + 11 = 45
Jetzt können wir die Anteile der einzelnen Optionen berechnen, in dem wir die Zahlenwerte einfach durch die Gesamtzahl der Personen 45 teilen:
A:
B:
C:
D:
Um die Winkelgrößen der Mittelpunktswinkel zu erhalten, müssen wir einfach die Anteile mit den 360° eines Vollkreises multiplizieren.
Dabei können wir jeweils immer überkreuz den Nenner 45 mit den 360 kürzen:
A: ⋅ 360° = 8 ⋅ 8° = 64°
B: ⋅ 360° = 8 ⋅ 8° = 64°
C: ⋅ 360° = 18 ⋅ 8° = 144°
D: ⋅ 360° = 11 ⋅ 8° = 88°
Umfang eines Kreises
Beispiel:
Ein Kreis hat den Radius 1 mm. Bestimme seinen Umfang.
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Wir wenden einfach die Formel
U = 2 ⋅ π ⋅ r
oder näherungsweise
U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ r
an und erhalten so:
U ≈ 2 ⋅ 3,1 ⋅ 1 mm
≈ 3,1 ⋅2 mm
≈ 6,2 mm
Umfang Kreis rückwärts
Beispiel:
Ein Kreis hat den Umfang U = 12.4 cm. Bestimme seinen Durchmesser.
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Wir wenden einfach die Formel
U = π ⋅ d
oder näherungsweise
U ≈ 3,1 ⋅ d
an und setzen ein:
12.4 ≈ 3,1 ⋅ d
Da der Umfang ja immer π (≈ 3,1) mal so groß wie der Durchmesser ist, müssen wir einfach den Umfang durch π (≈ 3,1) teilen:
d ≈ 12.4 cm : 3,1
= 4 cm
Umfang Kreis am Bild
Beispiel:
Bestimme die gesamte Länge des Randes der abgebildteten Figur in cm.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Man erkennt vier Achtelskreise mit Radius r = 2 cm.
Setzt man die vier Achtelskreise zusammen, so erhält man einen Halbkreis mit einem Umfang von ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r = π ⋅ r
≈ 3,1 ⋅ 2 cm = 6.2 cm
Dazu kommen noch die insgesamt 8 Radiuslängen (je zwei bei den vier Achtelskreisen zum Mittelpunkt hin), also 8 ⋅ 2 cm = 16 cm.
Die Gesamtlänge des Randes der Figur ist somit 6,2 cm + 16 cm = 22,2 cm.
Flächeninhalt Kreis
Beispiel:
Ein Kreis hat den Durchmesser 2 mm. Bestimme seinen Flächeninhalt.
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = mm = 1mm
Wir wenden einfach die Formel
A = π ⋅ r2
an und erhalten so:
A = π ⋅ 12 mm²
≈ 3,1 ⋅ 1 mm²
≈ 3,1 mm²
Flächeninhalt Kreis am Bild
Beispiel:
Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Man kann hier erkennen, dass ein Halbkreis aus einem Rechteck herausgeschnitten wurde. Das ganze Rechteck hat dabei eine Höhe von 3 cm und eine
Breite von 2 cm.
Somit gilt für dessen Flächeninhalt A1 = 3 cm ⋅ 2 cm =
6 cm²,
Für den Flächeninhalt des Halbkreises mit Radius r =1 cm, der aus dem Rechteck unten herausgeschnitten wurde, gilt:
A2 = ⋅ π ⋅ r2 ≈ ⋅ 3,1 ⋅ 12 cm²
= ⋅ 3,1 ⋅ 1 cm² = 1.55 cm².
Der Flächeninhalt der eingefärbten Fläche beträgt somit A = 6 cm² - 1,55 cm² = 4,45 cm².
Flächeninhalt zusammengesetzt
Beispiel:
Bestimme den Flächeninhalt der eingefärbten Fläche.
(2 Kästchen sind 1 cm lang)
Als Wert von π kann man mit 3,1 rechnen.
Der Flächeninhalt des großen Rechteck kann man einfach als Produkt von der Breite b = 7 cm und der Höhe h = 2 cm berechnet werden:
A1 = 7 cm ⋅ 2 cm = 14 cm²
Der Flächeninhalt des blauen Trapez unten kann man berechnen mit:
A2 = ⋅ (a + c) ⋅ ha
= ⋅ (7 cm + 1 cm) ⋅ 1 cm = ⋅
8cm ⋅ 1 cm = 4 cm²
Der Flächeninhalt des grünen Dreiecks links kann man berechnen mit:
A3 = ⋅ b ⋅ hb
= ⋅ 2 cm ⋅ 2 cm = ⋅ 4 cm²
= 2 cm²
Der Flächeninhalt der gesamten eingefärbten Fläche beträgt somit
A = A1 + A2 +
A3
= 14 cm² + 4 cm² + 2 cm²
= 20 cm².