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Bruchgleichung (die linear bleibt)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:
$\frac{x}{x - 4} + \frac{32}{x - 4}$ = $- 3$

D=R\{ $4$ }

Wir multiplizieren den Nenner $x - 4$ weg!

$\frac{x}{x - 4} + \frac{32}{x - 4}$	=	$- 3$	\|⋅( $x - 4$ )
$\frac{x}{x - 4} \cdot (x - 4) + \frac{32}{x - 4} \cdot (x - 4)$	=	$- 3 \cdot (x - 4)$
$x + 32$	=	$- 3 (x - 4)$

$x + 32$	=	$- 3 x + 12$	\| $- 32$
$x$	=	$- 3 x - 20$	\| $+ 3 x$
$4 x$	=	$- 20$	\|: $4$
$x$	=	$- 5$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 5$ }

Bruchgleichung (quadr.) 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4}{3 x + 5} + 4$ = $- x$

Lösung einblenden

D=R\{ $- \frac{5}{3}$ }

\frac{4}{3 x + 5} + 4

=

- x

Wir multiplizieren den Nenner $3 x + 5$ weg!

$\frac{4}{3 x + 5} + 4$	=	$- x$	\|⋅( $3 x + 5$ )
$\frac{4}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5) + 4 \cdot (3 x + 5)$	=	$- x \cdot (3 x + 5)$
$4 + 12 x + 20$	=	$- x \cdot (3 x + 5)$
$12 x + 24$	=	$- 3 x^{2} - 5 x$

12 x + 24

=

- 3 x^{2} - 5 x

|

+ 3 x^{2}

+ 5 x

$3 x^{2} + 17 x + 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 24}}{2 \cdot 3}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 288}}{6}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{1}}{6}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 17+1}{6}$ = $\frac{- 16}{6}$ = $- \frac{8}{3}$ ≈ -2.67

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{1}}{6}$ = $\frac{- 17-1}{6}$ = $\frac{- 18}{6}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $3$ " teilen:

$3 x^{2} + 17 x + 24$ = 0 |: $3$

$x^{2} + \frac{17}{3} x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{6})}^{2} - 8$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $8$ = $\frac{289}{36}$ $-$ $\frac{288}{36}$ = $\frac{1}{36}$

x_1,2 = $- \frac{17}{6}$ ± $\sqrt{\frac{1}{36}}$

x₁ = $- \frac{17}{6}$ - $\frac{1}{6}$ = $- \frac{18}{6}$ = -3

x₂ = $- \frac{17}{6}$ + $\frac{1}{6}$ = $- \frac{16}{6}$ = -2.6666666666667

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 3$ ; $- \frac{8}{3}$ }

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{79,2}{x + 1} - 4 x$ = $- \frac{x}{5 x + 5}$

Lösung einblenden

D=R\{ $- 1$ }

$\frac{79,2}{x + 1} - 4 x$	=	$\frac{- x}{5 x + 5}$
$\frac{79,2}{x + 1} - 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)}$	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $5 (x + 1)$ weg!

$\frac{79,2}{x + 1} - 4 x$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)}$	\|⋅( $5 (x + 1)$ )
$\frac{79,2}{x + 1} \cdot (5 (x + 1)) - 4 x \cdot (5 (x + 1))$	=	$\frac{- x}{5 (x + 1)} \cdot (5 (x + 1))$
$396 - 20 x \cdot (x + 1)$	=	$- x$
$396 + (- 20 x^{2} - 20 x)$	=	$- x$
$- 20 x^{2} - 20 x + 396$	=	$- x$

- 20 x^{2} - 20 x + 396

=

- x

|

+ x

$- 20 x^{2} - 19 x + 396$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{{(- 19)}^{2} - 4 \cdot (- 20) \cdot 396}}{2 \cdot (- 20)}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{361 + 31 680}}{- 40}$

x_1,2 = $\frac{+ 19 \pm \sqrt{32 041}}{- 40}$

x₁ = $\frac{19 + \sqrt{32 041}}{- 40}$ = $\frac{19+179}{- 40}$ = $\frac{198}{- 40}$ = $- 4,95$

x₂ = $\frac{19 - \sqrt{32 041}}{- 40}$ = $\frac{19-179}{- 40}$ = $\frac{- 160}{- 40}$ = $4$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 20$ " teilen:

$- 20 x^{2} - 19 x + 396$ = 0 |: $- 20$

$x^{2} + \frac{19}{20} x - \frac{99}{5}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{19}{40})}^{2} - (- \frac{99}{5})$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{99}{5}$ = $\frac{361}{1600}$ $+$ $\frac{31680}{1600}$ = $\frac{32041}{1600}$

x_1,2 = $- \frac{19}{40}$ ± $\sqrt{\frac{32041}{1600}}$

x₁ = $- \frac{19}{40}$ - $\frac{179}{40}$ = $- \frac{198}{40}$ = -4.95

x₂ = $- \frac{19}{40}$ + $\frac{179}{40}$ = $\frac{160}{40}$ = 4

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4,95$ ; $4$ }

Bruchgl. mit x-Potenzen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{30}{x^{4}}$ = $\frac{13}{x^{3}}$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{4}$ weg!

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{30}{x^{4}}$	=	$\frac{13}{x^{3}}$	\|⋅( $x^{4}$ )
$\frac{1}{x^{2}} \cdot x^{4} + \frac{30}{x^{4}} \cdot x^{4}$	=	$\frac{13}{x^{3}} \cdot x^{4}$
$x^{2} + 30$	=	$13 x$

x^{2} + 30

=

13 x

|

- 13 x

$x^{2} - 13 x + 30$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{{(- 13)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 30}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{169 - 120}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 13 \pm \sqrt{49}}{2}$

x₁ = $\frac{13 + \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13+7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = $10$

x₂ = $\frac{13 - \sqrt{49}}{2}$ = $\frac{13-7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = $3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{13}{2})}^{2} - 30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $30$ = $\frac{169}{4}$ $-$ $\frac{120}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{13}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{13}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{6}{2}$ = 3

x₂ = $\frac{13}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{20}{2}$ = 10

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $3$ ; $10$ }

Bruchgleichung (quadr.) 1

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{- 3 x + 2}{4 x}$ = $x + 1$

Lösung einblenden

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $4 x$ weg!

$\frac{- 3 x + 2}{4 x}$	=	$x + 1$	\|⋅( $4 x$ )
$\frac{- 3 x + 2}{4 x} \cdot 4 x$	=	$x \cdot 4 x + 1 \cdot 4 x$
$- 3 x + 2$	=	$4 x \cdot x + 4 x$

- 3 x + 2

=

4 x^{2} + 4 x

|

- 4 x^{2}

- 4 x

$- 4 x^{2} - 7 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 4) \cdot 2}}{2 \cdot (- 4)}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{49 + 32}}{- 8}$

x_1,2 = $\frac{+ 7 \pm \sqrt{81}}{- 8}$

x₁ = $\frac{7 + \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{7+9}{- 8}$ = $\frac{16}{- 8}$ = $- 2$

x₂ = $\frac{7 - \sqrt{81}}{- 8}$ = $\frac{7-9}{- 8}$ = $\frac{- 2}{- 8}$ = $0,25$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 4$ " teilen:

$- 4 x^{2} - 7 x + 2$ = 0 |: $- 4$

$x^{2} + \frac{7}{4} x - \frac{1}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{7}{8})}^{2} - (- \frac{1}{2})$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{1}{2}$ = $\frac{49}{64}$ $+$ $\frac{32}{64}$ = $\frac{81}{64}$

x_1,2 = $- \frac{7}{8}$ ± $\sqrt{\frac{81}{64}}$

x₁ = $- \frac{7}{8}$ - $\frac{9}{8}$ = $- \frac{16}{8}$ = -2

x₂ = $- \frac{7}{8}$ + $\frac{9}{8}$ = $\frac{2}{8}$ = 0.25

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 2$ ; $0,25$ }

Bruchgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\frac{4 x}{x + 2} + \frac{4 x}{2 x - 2} - 6$ = 0

Lösung einblenden

D=R\{ $1$ ; $- 2$ }

$\frac{4 x}{2 x - 2} + \frac{4 x}{x + 2} - 6$	=	0
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{4 x}{x + 2} - 6$	=	0	\|(Nenner faktorisiert)

Wir multiplizieren den Nenner $x - 1$ weg!

$\frac{4 x}{2 (x - 1)} + \frac{4 x}{x + 2} - 6$	=	\|⋅( $x - 1$ )
$\frac{4 x}{2 (x - 1)} \cdot (x - 1) + \frac{4 x}{x + 2} \cdot (x - 1) - 6 \cdot (x - 1)$	=
$2 x + \frac{4 x \cdot (x - 1)}{x + 2} - 6 x + 6$	=
$2 x + \frac{4 x^{2} - 4 x}{x + 2} - 6 x + 6$	=
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{x + 2} + 2 x - 6 x + 6$	=

Wir multiplizieren den Nenner $x + 2$ weg!

$\frac{4 x^{2} - 4 x}{x + 2} + 2 x - 6 x + 6$	=	\|⋅( $x + 2$ )
$\frac{4 x^{2} - 4 x}{x + 2} \cdot (x + 2) + 2 x \cdot (x + 2) - 6 x \cdot (x + 2) + 6 \cdot (x + 2)$	=
$4 x^{2} - 4 x + 2 x \cdot (x + 2) - 6 x \cdot (x + 2) + 6 x + 12$	=
$4 x^{2} - 4 x + (2 x^{2} + 4 x) + (- 6 x^{2} - 12 x) + 6 x + 12$	=
$- 6 x + 12$	=

$- 6 x + 12$	=	0	\| $- 12$
$- 6 x$	=	$- 12$	\|:( $- 6$ )
$x$	=	$2$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $2$ }

Bruchgleichung mit Parameter

Beispiel:

Für x ≠ 0 und a ∈ Z\{0} ist die folgende Gleichung gegeben:

$x - \frac{24}{x}$ = $- a$

Bestimme a so, dass die Gleichung zwei (verschiedene) ganzzahlige Lösungen besitzt.

Lösung einblenden

D=R\{0}

$x - \frac{24}{x}$ = $- a$

Wir multiplizieren den Nenner x weg:

$x - \frac{24}{x}$	=	$- a$	\|⋅x
$x \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x$	=	$- a \cdot x$
$x^{2} - 24$	=	$- a x$
$x^{2} - 24 + a x$	=	0
$x^{2} + a x - 24$	=	0

Um jetzt ein a zu finden, für das die quadratische Gleichung zwei ganzzahlige Lösungen hat, bezeichnen wir die beiden Lösungen einfach mal mit p und q und schreiben einen faktorisierten Term mit diesen Lösungen auf:

(x-p)⋅(x-q)

Wenn wir jetzt den faktorisierten Term ausmultiplizieren, erkennen wir, dass auch hier die 1 der Koeffizient vor dem x² ist.

= x² - px - qx + pq
= x² - (p+q)x + pq

Es muss somit gelten:

$x^{2} + a x - 24$ = x² - (p+q)x + pq

Wir müssen jetzt also nur noch zwei ganze Zahlen finden, deren Produkt -24 ist, also z.B.:

Mit p = 2 und q = -12 würde es funktionieren, denn $2 \cdot (- 12)$ = -24

Genauso muss dann auch a = -(p+q) gelten, also a = $- (2 - 12)$ = $10$

Zur Probe können wir ja noch mit a = 10 die quadratische Gleichung lösen, um zu überprüfen, ob die Lösungen wirklich ganzzahlig sind:

$x^{2} + 10 x - 24$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{10^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 24)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 10 \pm \sqrt{196}}{2}$

x₁ = $\frac{- 10 + \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10+14}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{- 10 - \sqrt{196}}{2}$ = $\frac{- 10-14}{2}$ = $\frac{- 24}{2}$ = $- 12$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $5^{2} - (- 24)$ = $25$ $+$ $24$ = $49$

x_1,2 = $- 5$ ± $\sqrt{49}$

x₁ = $- 5$ - $7$ = -12

x₂ = $- 5$ + $7$ = 2

L={ $- 12$ ; $2$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bruchgleichung (die linear bleibt)

Bruchgleichung (quadr.) 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

doppelte Bruchgl. (quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgl. mit x-Potenzen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichung (quadr.) 1

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Bruchgleichungen

Bruchgleichung mit Parameter

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):