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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 5$ an der Stelle x= $- 2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 4 x^{2} + 5$ ,
also

$f'(x) =$ $- 8 x + 0$

= $- 8 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(- 2) =$ $- 8 \cdot (- 2)$

= $16$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $16$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(- 2) =$ $- 4 \cdot {(- 2)}^{2} + 5$ = $- 4 \cdot 4 + 5$ = $- 16 + 5$ = $- 11$

Wir erhalten so also den Punkt B( $- 2$ | $- 11$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 11$ = $16$ ⋅( $- 2$ ) + c

$- 11$ = $- 32$ + c | + $32$

$21$ = c

also c= $21$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $16$ ⋅x + $21$

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Beispiel:

Berechne die Tangentengleichung an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{2} + 1$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{2} + 1$ ,
also

$f'(x) =$ $2 x + 0$

= $2 x$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $2 \cdot 2$

= $4$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $4$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $2^{2} + 1$ = $4 + 1$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $4$ ⋅ $2$ + c

$5$ = $8$ + c | $- 8$

$- 3$ = c

also c= $- 3$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $4$ ⋅x $- 3$

Normale anlegen

Beispiel:

Berechne die Gleichung der Normalen an den Graphen von f mit $f(x) =$ $- 3 x^{2} - x$ an der Stelle x= $2$ :

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $- 3 x^{2} - x$ ,
also

$f'(x) =$ $- 6 x - 1$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(2) =$ $- 6 \cdot 2 - 1$

= $- 12 - 1$

= $- 13$

Um mit der Tangentensteigung die Steigung der darauf senkrecht stehenden Normalen zu berechnen, verwenden wir die Beziehung:

m_n= - $\frac{1}{m_{t}}$

also m_n= $\frac{1}{13}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Normale die Gleichung t: y= $\frac{1}{13}$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(2) =$ $- 3 \cdot 2^{2} - 2$ = $- 3 \cdot 4 - 2$ = $- 12 - 2$ = $- 14$

Wir erhalten so also den Punkt B( $2$ | $- 14$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 14$ = $\frac{1}{13}$ ⋅ $2$ + c

$- 14$ = $\frac{2}{13}$ + c | $- \frac{2}{13}$

$- \frac{184}{13}$ = c

also c= $- \frac{184}{13}$ ≈ -14.15

Damit erhält man als Geradengleichung für die Normale: y= $\frac{1}{13}$ ⋅x $- \frac{184}{13}$ oder y=0.08x -14.15

Steigungswinkel

Beispiel:

Berechne den Steigungswinkel der Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 3 x - 4$ im Punkt P(-3|f(-3)):

Lösung einblenden

Um den Steigungswinkel zu berechnen brauchen wir zuerst einmal die Tangentensteigung im Punkt P(-3|f(-3)).

Dazu leiten wir f erst ab und setzen dann x = -3 in die Ableitungsfunktion ein:

$f(x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 3 x - 4$

=> $f'(x) =$ $3 x + 3 + 0$

f'(-3) = $3 \cdot (- 3) + 3$ = $- 9 + 3$ = $- 6$

Für den Steigungswinkel α einer Geraden mit Steigung m gilt:

tan(α) = m.

Also können wir den Steigungswinkel α berechnen mit:

α = arctan(m) = arctan(f'(-3)) = arctan( $- 6$ )) ≈ -80.5°.

Da der Steigungswinkel immer zwischen 0° und 180° liegt, müssen wir hier noch 180° addieren:

α = -80.5° + 180° = 99.5°.

Steigungswinkel rückwärts

Beispiel:

In einem Punkt B(x₀|f(x₀)) wird eine Tangente mit dem Steigungswinkel α ≈ -63.435° an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{28} x^{4} - 51 x + 7$ angelegt.

Bestimme x_0.

Lösung einblenden

Wenn der Steigungswinkel α = -63.435° ist, muss die Steigung dieser Tangente m = tan(-63.435°) ≈ -2 betragen.

Wir suchen also die Stelle x₀, an der die Steigung der Tangente m = -2 ist.

Die Steigung der Tangente an einer Stelle x₀ können wir ja aber mit m = f'(x₀) berechnen, also muss f'(x₀) = -2 gelten.

Wir leiten somit f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{28} x^{4} - 51 x + 7$ ab:

f'(x) = $- \frac{1}{7} x^{3} - 51$

Es muss gelten:

$- \frac{1}{7} x^{3} - 51$	=	$- 2$	\| $+ 51$
$- \frac{1}{7} x^{3}$	=	$49$	\|⋅ $(- 7)$
$x^{3}$	=	$- 343$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$x$	=	$- \sqrt[3]{343}$	= $- 7$

Die gesuchte Stelle ist somit x₀ ≈ -7.

Nullstelle einer Tangente

Beispiel:

Bestimme den x-Wert, an dem die Tangente an den Graphen von f mit $f(x) =$ $x^{3} - 4$ im Punkt B( $1$ |f( $1$ )) die x-Achse schneidet:

Lösung einblenden

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(x) =$ $x^{3} - 4$ ,
also

$f'(x) =$ $3 x^{2} + 0$

= $3 x^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen x-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(1) =$ $3 \cdot 1^{2}$

= $3 \cdot 1$

= $3$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $3$ x+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(1) =$ $1^{3} - 4$ = $1 - 4$ = $- 3$

Wir erhalten so also den Punkt B( $1$ | $- 3$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$- 3$ = $3$ ⋅ $1$ + c

$- 3$ = $3$ + c | $- 3$

$- 6$ = c

also c= $- 6$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $3$ ⋅x $- 6$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $3 x - 6$

$3 x - 6$	=	0	\| $+ 6$
$3 x$	=	$6$	\|: $3$
$x$	=	$2$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei x = $2$ .

Nullstelle einer Tangente Anwendung

Beispiel:

Die Geschwindigkeit eines Radfahrers lässt sich näherungsweise durch den Term $f(t) =$ $7 - \frac{1}{32} t^{3}$ beschreiben (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, f(t) im m/s).
Nach 4 Sekunden bleibt die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit konstant bei dem Wert, den sie zum Zeitpunkt t=4s hatte.
Wann kommt der Radfahrer zum Stillstand?

Lösung einblenden

Wir brauchen also die Tangente an den Graph von f im Punkt B(4|f(4)):

Zuerst braucht man die Ableitung von $f(t) =$ $7 - \frac{1}{32} t^{3}$ ,
also

$f'(t) =$ $0 - \frac{3}{32} t^{2}$

= $- \frac{3}{32} t^{2}$

Um die Steigung der Tangente zu erhalten, setzen wir den gegebenen t-Wert in die Ableitung ein:

$m_{t} = f'(4) =$ $- \frac{3}{32} \cdot 4^{2}$

= $- \frac{3}{32} \cdot 16$

= $- \frac{3}{2}$

Damit wissen wir nun schon, dass die Tangente die Gleichung t: y= $- \frac{3}{2}$ t+c besitzt.

Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können.
Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also $f(4) =$ $7 - \frac{1}{32} \cdot 4^{3}$ = $7 - \frac{1}{32} \cdot 64$ = $7 - 2$ = $5$

Wir erhalten so also den Punkt B(4| $5$ ) als Berührpunkt.

Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein:

$5$ = $- \frac{3}{2}$ ⋅4 + c

$5$ = $- 6$ + c | + $6$

$11$ = c

also c= $11$

Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= $- \frac{3}{2}$ ⋅t + $11$

Jetzt brauchen wir noch die Nullstelle dieser linearen (Tangenten-)Funktion: t: y = $- \frac{3}{2} t + 11$

$- \frac{3}{2} t + 11$	=	0	\|⋅ 2
$2 (- \frac{3}{2} t + 11)$	=	0
$- 3 t + 22$	=	0	\| $- 22$
$- 3 t$	=	$- 22$	\|:( $- 3$ )
$t$	=	$\frac{22}{3}$

Die gesuchte Nullstelle der Tangente ist somit bei t = $\frac{22}{3}$ ≈ 7.33.

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Tangente anlegen (ganzzahlige Koef.)

Tangente anlegen (nur ganzrational)

Normale anlegen

Steigungswinkel

Steigungswinkel rückwärts

Nullstelle einer Tangente

Nullstelle einer Tangente Anwendung