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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $f(t) =$ $55 \cdot {0,65}^{t}$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

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f(0) = $55$

f(1) = $55$ ⋅ $0,65$

f(2) = $55$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

f(3) = $55$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

f(4) = $55$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$ ⋅ $0,65$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $0,65$ multipliziert. Da $0,65$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $0,65$ -fache, also auf $65$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 65% = 35 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 4% verzinst. Zu Beginn sind 8000€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand nach 11 Jahren? b) Wann ist der Kontostand auf 12000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=8000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Zunahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 4% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{4}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{4}{100}$ ) ⋅ B = 1,04 ⋅ B. Somit ist das a=1,04.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $8 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=11 Jahre, also f(11):

f(11) = $8 000 \cdot {1,04}^{11}$ ≈ 12315,632.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 12000 € ist, also f(t) = 12000:

$8 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$12 000$	\|: $8 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{3}{2}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{3}{2})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{3}{2})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{3}{2})}{\lg (1,04)}$

t

=

10,338

Nach ca. 10,338 Jahre ist also der Kontostand = 12000 €.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 6000€ eröffnet und wird mit einem festen Zinssatz verzinst. Nach 8 Jahren beträgt der Kontostand bereits 8211,41€. a) Wie hoch ist der Kontostand 9 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 8000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=6000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Jahre der Bestand 8211.41 € ist, also f(8) = 8211.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $6 000 \cdot a^{t}$ ein:

$6 000 a^{8}$	=	$8 211,41$	\|: $6 000$
$a^{8}$	=	$1,36857$	\| $\sqrt[8]{\cdot}$
a₁	=	$- \sqrt[8]{1,36857}$	= $- 1,04$
a₂	=	$\sqrt[8]{1,36857}$	= $1,04$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $1,04$ ≈ 1.04 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $6 000 \cdot {1,04}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=9 Jahre, also f(9):

f(9) = $6 000 \cdot {1,04}^{9}$ ≈ 8539,871.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 8000 € ist, also f(t) = 8000:

$6 000 \cdot {1,04}^{t}$	=	$8 000$	\|: $6 000$
${1,04}^{t}$	=	$\frac{4}{3}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,04}^{t})$	=	$\lg (\frac{4}{3})$
$t \cdot \lg (1,04)$	=	$\lg (\frac{4}{3})$	\|: $\lg (1,04)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{4}{3})}{\lg (1,04)}$

t

=

7,335

Nach ca. 7,335 Jahre ist also der Kontostand = 8000 €.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein Konto wird mit 3% verzinst. 10 Jahre nach dem das Konto eröffnet wurde, sind bereits 9407,41€ auf dem Konto. a) Wie hoch ist der Kontostand 12 Jahre nach der Kontoeröffnung? b) Wann ist der Kontostand auf 10000€ angewachsen?

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Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ sein.

Die prozentuale Zunahme um 3% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 3% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{3}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{3}{100}$ ) ⋅ B = 1,03 ⋅ B. Somit ist das a=1,03.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $f(t) =$ $c \cdot {1,03}^{t}$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 10 Jahre der Bestand 9407.41 € ist, also f(10) = 9407.41. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,03}^{t}$ ein:

c ⋅ 1.03¹⁰ = 9407.41

c ⋅ 1.34392 = 9407.41 | : 1.34392

c = 7000

Damit ergibt sich der Funktionsterm $f(t) =$ $7 000 \cdot {1,03}^{t}$ .

zu a)

Gesucht ist der Kontostand zum Zeitpunkt t=12 Jahre, also f(12):

f(12) = $7 000 \cdot {1,03}^{12}$ ≈ 9980,326.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Kontostand = 10000 € ist, also f(t) = 10000:

$7 000 \cdot {1,03}^{t}$	=	$10 000$	\|: $7 000$
${1,03}^{t}$	=	$\frac{10}{7}$	\|lg(⋅)
$\lg ({1,03}^{t})$	=	$\lg (\frac{10}{7})$
$t \cdot \lg (1,03)$	=	$\lg (\frac{10}{7})$	\|: $\lg (1,03)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{10}{7})}{\lg (1,03)}$

t

=

12,0666

Nach ca. 12,067 Jahre ist also der Kontostand = 10000 €.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $f(t) =$ $c \cdot {1,089}^{t}$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

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Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $f(t) =$ $c \cdot {1,089}^{t}$ ablesen: a=1.089.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.089( $2$ ) ≈ 8.13 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Eine Bakterienkultur vermehrt sich stündlich um 8%. Bestimme die Zeit bis sich die Größe der Bakterienkultur verdoppelt hat.

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Die prozentuale Zunahme um 8% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 8% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{8}{100}$ ⋅B = (1 + $\frac{8}{100}$ ) ⋅ B = 1,08 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ ): a=1,08.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.08( $2$ ) ≈ 9.01 Stunden

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Alle 4,7 Wochen verdoppelt sich die Anzahl der Nutzer einer Internetseite. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 1000 Nutzer.Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Anzahl der Nutzer nach t Wochen angibt.

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Von der allgemeinen Exponentialfunktion $f(t) =$ $c \cdot a^{t}$ können wir den Anfangswert c = 1000 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Verdopplungszeit: T_V = log_a(2).

Also 4.7 = log_a(2). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{4,7}$	=	$2$	\| $\sqrt[4,7]{\cdot}$
a₁	=	$- 2^{\frac{1}{4,7}}$	≈ $- 1,159$
a₂	=	$2^{\frac{1}{4,7}}$	≈ $1,159$

Das gesuchte a ist somit $1,159$ ≈ 1.16, der gesuchte Funktionsterm $f(t) =$ $1 000 \cdot {1,16}^{t}$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

prozentale Änderung bestimmen

c und a gegeben

c und ein Funktionswert gegeben

a und ein Funktionswert gegeben

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.