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Intervall Normalverteilung (einfach)

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=5 und der Standardabweichung σ=0.2 .

Berechne P(X ≤ 5).

Runde dein Ergebnis auf 3 Stellen hinter dem Komma.

Hier kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt kann man das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 5) ≈ 0.5

Intervall Normalverteilung rückwärts

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ=20 und der Standardabweichung σ=3.5 .

Es gilt P(X ≤ k) = 0.4. Bestimme k.

Runde auf eine Stelle hinter dem Komma genau.

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Der WTR liefert für P(X ≤ k) = 0.4 den Wert k ≈ 19.113.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Man geht davon aus, dass die Intelligenz bei Menschen normalverteilt ist. Ein Intelligenztest wird immer so skaliert, dass der Erwartungswert des IQ bei 100 und die Standardabweichung bei 15 liegt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewählter Mensch einen Intelligenzquotient kleiner oder gleich 85 hat.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt den Intelligenzquotient IQ, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 15.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 85) ≈ 0.1587

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Beispiel:

Eine Firma produziert 40 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozesse treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,4 mm. Wie lange muss dann eine Schraube mindestens sein, damit sie zu den längsten 20% der Schrauben gehört.
(Bitte auf 2 Stellen nach dem Komma runden, ohne Einheiten eingeben!)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 40 und der Standardabweichung σ = 0.4.

Gesucht ist somit das k, so dass P(X ≥ k) = 0.2 gilt.

Der WTR kann leider kein k berechnen mit P(X ≥ k) = 0.2, weil er immer nur ein k bei P(X ≤ k) = p berechnen kann.

Also nutzen wir aus, dass P(X ≤ k) = 0.8 (im Schaubild die blaue Fläche) gelten muss, wenn P(X ≥ k) = 0.2 (im Schaubild die rote Fläche) gilt.

Für P(X ≤ k) = 0.8 liefert der WTR k ≈ 40.337.

(TI: invNormal, Casio: Inv. Normal-V. )

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an.

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Den Mittelwert μ= -4 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 3 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Dichtefunktion aus Graph ablesen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib den Funktionsterm der Dichtefunktion an.

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Den Mittelwert μ= 1 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 1 kann man am Abstand der x-Werte des Hochpunkts vom Wendepunkt ablesen.

Eingesetzt in die allgemeine Dichtefunktion: φ(x) = $\frac{1}{σ \cdot \sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - μ}{σ})}^{2}}$ ergibt:

φ(x) = $\frac{1}{\sqrt{2 π}} \cdot e^{- \frac{1}{2} {(\frac{x - 1}{1})}^{2}}$

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit den ganzzahligen Parametern μ und σ.

Gib die Werte für μ und σ an und berechne damit die eingefärbte Fläche.

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Den Mittelwert μ= 2 kann man einfach am x-Wert des Hochpunkts der Glockenkurve ablesen.

Die Standardabweichung σ = 2 kann man am Abstand der x-Werte von Hochpunkt und Wendepunkt ablesen.

Jetzt kann man einfach einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben - und schließlich das Ergebnis ablesen:

P(2 ≤ X ≤ 5) ≈ 0.4332

Symmetrie nutzen

Beispiel:

Die Zufallsgröße X ist normalverteilt. Ihr Schaubild zeigt die zugehörige Gauß'sche Glockenkurve mit einem ganzzahligen Erwartungswert μ. Der Inhalt der gefärbten Fläche beträgt 0.077.

Bestimme P(0 ≤ X ≤ 2).

Gib die Wahrscheinlichkeit auf 3 Stellen nach dem Komma genau an.

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Wir wissen, dass das Schaubild einer normalverteilten Zufallsgröße achsenssymmetrisch zur senkrechten Gerade durch den Hochpunkt ist, hier also zu x = 0.

Somit gilt auch für den helleren blauen Flächeninhalt, der der Wahrscheinlichkeit P( X ≥ 2) entspricht: P( X ≥ 2) = 0.077.

Die beiden roten Flächen teilen sich dann die Restwahrscheinlichkeit:
1 - 0.077 - 0.077 = 0.846

Aus den bereits oben genannten Symmetriegründen sind aber auch die beiden roten Flächen gleich groß, so dass für die gesuchte (dunklere) Fläche gilt:

P(0 ≤ X ≤ 2) = $\frac{0.846}{2}$ = 0.423

Standardabweichung bestimmen

Beispiel:

Der Punkt P(-8|0.0307) liegt auf der Gauß'schen Glockenkurve mit ganzzahligem Parameter σ und μ = -8.

Bestimme die Standardabweichung σ.

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Der gegebene Punkt ist der Hochpunkt der Gauß' schen Glockenkurve, weil ja der gegebene x-Wert gerade dem Erwartungswert μ = -8 entspricht.

Um einen ersten möglichen Wert für eine Standardabweichung σ zu bekommen, berechen wir am besten den Quotient von 0,5 und dem y-Wert der gegebenen Hochpunkts, also $\frac{0.5}{0.0307}$ ≈ 16.287 und runden diesen auf σ₁ = 16.

Damit berechnen wir nun den y-Wert der Glockenkurve (mit μ = -8 und σ₁=16) an der gegebenen Stelle x = -8 und erhalten f₁(-8) = 0.0249
(TI: DISTR -> 1: Normalpdf; Casio: Dichte ..).

Wir wissen ja: Je größer das σ ist, desto breiter wird die Glockenkurve. Da ja aber die ganze Fläche unter der Glockenkurve (die ja der Gesamt-Wahrscheinlichkeit für alles entspricht) immer genau 1 ist, muss die breitere Glockenkurve dementsprechend auch flacher und damit mit einem niedrigeren Hochpunkt ausfallen. Somit gilt:

Je höher das σ, desto niedriger der y-Wert des Hochpunkts.

Und da der y-Wert unserer ersten Kurve mit σ₁=16 (in der Abbilung in grün) zu tief war, muss also σ₁ zu groß sein und wir müssen jetzt eben schrittweise kleinere Standardabweichungen σ durchprobieren und die zugehörigen y-Werte an der Stelle x = -8 berechnen:

μ = -8	σ = 15	f(-8) = 0.0266
μ = -8	σ = 14	f(-8) = 0.0285
μ = -8	σ = 13	f(-8) = 0.0307

Somit muss die gesuchte Standardabweichung σ = 13 sein.

Sigmaregel rückwärts

Beispiel:

X ist normalverteilt mit μ und σ = 6. Es gilt P(μ ≤ X ≤ 242) ≈ 0,477. Bestimme μ.

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Es gilt: P(μ ≤ X ≤ 242) ≈ 0,477≈ $\frac{0.954}{2}$

Wegen der Sigma-Regel P(μ - 2⋅σ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ 0.954 und der Symmetrie der Gauß'schen Glockenkurve
muss also P(μ ≤ X ≤ μ + 2⋅σ) ≈ $\frac{0.954}{2}$ sein.
Mit σ = 6 gilt somit: P(μ ≤ X ≤ μ + 12) ≈ $\frac{0.954}{2}$

Wenn man dies mit der 1 .Zeile vergleicht, erkennt man, dass 242 um 12 größer als μ sein muss.

Für den Mittwelwert gilt somit: μ = 242 - 12 = 230 .

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Beispiel:

Bei einer Getränkeabfüllanlage kann man die Füllmenge der Flaschen auf ganze ml einstellen. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit der eingestellten Füllmenge als Erwartungswert und einer Standardabweichung von 2 ml. Auf welchen Wert (ganzzahlig in ml) muss man die Abfüllanlage mindestens einstellen, damit in einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75% mindestens 500 ml drin ist?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Zunächst untersuchen wir die Wahrscheinlichkeit, wenn der Erwartungswert μ = 500 gewählt würde. Aus Symmetriegründen wäre dann aber P(X ≥ 500) = 0,5.

Deswegen wird nun der Erwartungswert schrittweise immer um eine Einheit erhöht, bis die gesuchte Wahrscheinlichkeit P(X ≥ 500) mindestens 0.75 ist:

μ = 500: P(X ≥ 500) = 0.5

μ = 501: P(X ≥ 500) = 0.6915

μ = 502: P(X ≥ 500) = 0.8413

Man muss also den Erwartungswert auf mindestens μ = 502 einstellen.

Normalverteilung variables σ

Beispiel:

Eine Getränkeabfüllanlage füllt Flaschen der Füllmenge 800 ml ab. Trotzdem ist dann nicht in allen abgefüllten Flaschen ganz exakt gleich viel drin. Man kann aber davon ausgehen, dass die tatsächliche Füllmenge normalverteilt ist mit μ = 800 als Erwartungswert und einer Standardabweichung σ. Die Vorgabe für die Abfüllanlage ist, dass die Füllmenge einer zufällig abgefüllten Flasche mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 15% um mehr als 6,5 ml von den geforderten 800 ml abweicht. Wie groß darf dann die Standardabweichung von der Normalverteilung der Abfüllanlage (auf eine Stelle hinter dem Komma gerundet) höchtens sein?

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Abfüllmenge in ml.

Gesucht ist die Standardabweichung σ, so dass P(X ≤ 793.5) + P(X ≥ 806.5) < 15% oder eben, dass P(793.5 ≤ X ≤ 806.5) ≥ 0.85 gilt.

Je kleiner das σ ist, desto enger und höher ist die Glockenkurve der Dichtefunktion.

Aufgrund der Sigmaregel (P(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 95,4% ) wissen wir, dass die 6.5 ml eine kleinere Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen als eine Abweichung um 2 σ, folglich muss die Abweichung 6.5 weniger als 2 σ entsprechen.

6.5 < 2⋅σ |:2
3.25 < σ

Wir starten also mal bei σ = 3.25 und erhöhen dieses so lange, bis P(793.5 ≤X ≤ 806.5) unter die 0.85 sinkt:

σ = 3.2: P(793.5 ≤ X ≤ 806.5) ≈ 0.9578

σ = 3.3: P(793.5 ≤ X ≤ 806.5) ≈ 0.9511

...

σ = 4.2: P(793.5 ≤ X ≤ 806.5) ≈ 0.8783

σ = 4.3: P(793.5 ≤ X ≤ 806.5) ≈ 0.8694

σ = 4.4: P(793.5 ≤ X ≤ 806.5) ≈ 0.8604

σ = 4.5: P(793.5 ≤ X ≤ 806.5) ≈ 0.8514

σ = 4.6: P(793.5 ≤ X ≤ 806.5) ≈ 0.8424

Die Standardabweichung darf also höchstens σ = 4.5 einstellen.

Normalverteilung Anwendung

Beispiel:

Eine Firma produziert 70 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,7 mm. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Schraube kleiner oder gleich 70,5 mm ist.
(Bitte auf 3 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X beschreibt die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 70 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Somit kann man einfach die WTR-Befehle ("Normalcdf" beim TI, bzw. "Kumul. Normal-V" beim Casio) verwenden: Erst μ und σ, dann die Intervallgrenzen eingeben. Die linke Intervallgrenze wäre hier jedoch - ∞. Stattdessen kann man einfach einen sehr kleinen Wert eingeben, z.B.: -10000000.

Jetzt lässt sich das Ergebnis ablesen: P(X ≤ 70.5) ≈ 0.7625

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Beispiel:

Eine Firma produziert 100 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,5 mm. Die Schrauben werden dabei in Kartons mit 48 Stück verpackt. Ist eine Schraube kürzer als 99,7 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem zufällig gewählten Karton nicht mehr als 13 Schrauben zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als zu kurz gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 100 und der Standardabweichung σ = 0.5.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≤ 99.7) ≈ 0.2743 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes der 48 Exemplare gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der zu kurzen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit n = 48 und p = 0.2743 annehmen.

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt somit:
$P_{0.274}^{48} (X \leq 13)$ =

$P_{0.274}^{48} (X \leq 13)$ = 0.5528

(TI-Befehl: binomcdf(48,0.2743,13) - binomcdf(48,0.2743,-1))

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt somit ca. 55,3%.

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw

Beispiel:

Eine Firma produziert 30 mm lange Schrauben. Aufgrund mehrerer Faktoren beim Produktionsprozess treten Schwankungen bei der tatsächlichen Länge auf. Dabei beträgt die Standardabweichung 0,7 mm. Ist eine Schraube kürzer als 29,8 mm, so gilt sie als zu kurz. Wie viele Schrauben muss man produzieren, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 75%, mindestens 14 Schrauben zu erhalten, die brauchbar, also nicht zu kurz sind?

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Zuerst berechnen wir die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Schraube als lang genug gilt. Die Zufallsgröße Y beschreibt dabei die Schraubenlänge in mm, sie wird als normalverteilt angenommen mit dem Erwartungswert μ = 30 und der Standardabweichung σ = 0.7.

Mit derm WTR lässt sich so P(Y ≥ 29.8) ≈ 0.612452 berechnen.

(TI: Normalcdf, Casio: Kumul. Normal-V. )

Und weil dies für jedes Exemplar gilt, können wir die Zufallsgröße X (, die die Anzahl der die ausreichend langen Schrauben in einem Karton zählt) als binomialverteilt mit unbekanntem n und p = 0.612452 annehmen.

n	P(X≤k)
...	...
23	0.3954
24	0.304
25	0.2268
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die ausreichend langen Schrauben in einem Karton an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.612452 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.612}^{n} (X \geq 14)$ ≥ 0.75

Weil man ja aber $P_{0.612}^{n} (X \geq 14)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.612}^{n} (X \geq 14)$ = 1 - $P_{0.612}^{n} (X \leq 13)$ ≥ 0.75 |+ $P_{0.612}^{n} (X \leq 13)$ - 0.75

0.25 ≥ $P_{0.612}^{n} (X \leq 13)$ oder $P_{0.612}^{n} (X \leq 13)$ ≤ 0.25

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 61.2452% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{14}{0.612452}$ ≈ 23 Versuchen auch ungefähr 14 (≈0.612452⋅23) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=23:
$P_{0.612}^{n} (X \leq 13)$ ≈ 0.3954 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.25 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.25 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=25 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.25 ist.

n muss also mindestens 25 sein, damit $P_{0.612}^{n} (X \leq 13)$ ≤ 0.25 oder eben $P_{0.612}^{n} (X \geq 14)$ ≥ 0.75 gilt.

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Intervall Normalverteilung (einfach)

Intervall Normalverteilung rückwärts

Normalverteilung Anwendung

Normalverteilung Anwendung (rückwärts)

Mittelwert, Standardabw. ablesen

Dichtefunktion aus Graph ablesen

μ und σ ablesen und Intervall berechnen

Symmetrie nutzen

Standardabweichung bestimmen

Sigmaregel rückwärts

variabler Erwartungswert (Anwendungen)

Normalverteilung variables σ

Normalverteilung Anwendung

Kombination Normal- und Binomialverteilung

Kombination Normal- und Binomialverteilung rw