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0 oder 1 Treffer bei n Versuchen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 5 mal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jeder Wurf eine "6" ist, außer beim ersten Versuch.

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Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (also hier, dass eine "6" gewürfelt wird) beträgt p = 1 6 , für einen Nicht-Treffer (also hier, dass keine "6" gewürfelt wird) beträgt sie q = 1 - 1 6 = 5 6 . Da ja der Nicht-Treffer genau im ersten Durchgang kommen soll, ist auch hier nur ein Pfad im Baumdiagramm möglich. Dessen Wahrscheinlichkeit lässt sich dann wie folgt berechnen:

P = 5 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 ⋅ 1 6 = 5 6 · ( 1 6 ) 4 ≈ 0.0006 .

Binomialkoeffizient

Beispiel:

Berechne ohne Taschenrechner: ( 5 3 )

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Wenn man von der allgememeinen Formel für den Binomialkoeffizient
( 5 3 ) = 5! 3! ⋅ (5 - 3)! = 5! 3! ⋅ 2! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 3⋅2⋅1 ⋅ 2⋅1
ausgeht, sieht man schnell, dass man mit der
3! = 3⋅2⋅1
rechts im Zähler und links im Nenner kürzen kann, so dass gilt:

( 5 3 ) = 5⋅4 2⋅1

= 5⋅2 1 (gekürzt mit 2)

= 10

Binomialkoeffizient Anwendungen

Beispiel:

Bei einem Glücksspiel sind auf einem Schein 6 Felder abgedruckt. Von diesen 6 Felder soll sich der Spieler 4 Felder aussuchen und ankreuzen.Wieviele Möglichkeiten hat er hierfür?

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Für die erste Stelle ist jedes Feld möglich. Es gibt also 6 Möglichkeiten. Für die zweite Stelle ist das bereits als erstes gewählte Feld nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 5 Möglichkeiten. Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 4 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren:

Es gibt also 6⋅5⋅4⋅3 = 360 Möglichkeiten, die 6 Möglichkeiten (abgedruckte Felder) auf die 4 "Ziehungen" (angekreuzte Felder) zu verteilen.

Wir haben jetzt dabei aber genau unterschieden an welcher Stelle was gezogen bzw. gewählt wurde. Also wären zum Beispiel Feld1 - Feld3 - Feld6 und Feld3 - Feld6 - Feld1 zwei unterschiedliche Ergebnisse. In unserem Fall hier soll diese Reihenfolge aber keine Rolle spielen. Es interessiert nur, wer in der 4er-Gruppe drin ist, nicht an welcher Stelle.

Wir berechnen jetzt also, wie viele mögliche Reihenfolgen pro 4er-Gruppe möglich sind.

  • Für die erste Stelle ist jede(r) aus der 4er-Gruppe möglich. Es gibt also 4 Möglichkeiten.
  • Für die zweite Stelle ist der/die an erster Stelle stehende nicht mehr möglich, es gibt also nur noch 3 Möglichkeiten.
  • Für die 3. Stelle fehlen dann schon 2, so dass nur noch 2 möglich sind, usw.

Da ja jede Möglichkeit der ersten Stelle mit den Möglichkeiten der zweiten, dritten, ... Stelle kombinierbar sind, müssen wir die verschiedenen Möglichkeiten an den verschiedenen Stellen multiplizieren und erhalten 4⋅3⋅2⋅1 = 24 Möglichkeiten für die verschiedenen Reihenfolgen innerhalb einer 4er-Gruppe.

Wir müssen deswegen die 360 Möglichkeiten für nach Reihenfolge sortierte 4er-Gruppen durch die 24 Möglichkeiten, die 4er-Gruppe anzuordnen, teilen.

Hieraus ergeben sich 360 24 = 15 Möglichkeiten für 4er-Gruppen, die aus 6 Elementen (abgedruckte Felder) gebildet werden.

Die hier durchgeführte Berechnung 6⋅5⋅4⋅3 4⋅3⋅2⋅1 könnte man mit 2! erweitern würde so auf die Formel für den Binomialkoeffizient kommen:

15 = 6⋅5⋅4⋅3 4⋅3⋅2⋅1 = 6⋅5⋅4⋅3 ⋅2 ⋅ 1 4⋅3⋅2⋅1 ⋅2 ⋅ 1 = 6! 4! ⋅ 2! = ( 6 4 )

Wahrscheinlichkeiten mit Binom.Koeff.

Beispiel:

In einer Urne befinden sich 30 Kugeln, die mit den Zahlen 1 bis 30 beschriftet sind.

Es werden 8 Kugeln zufällig aus der Urne gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei den gezogenen Kugeln die 16 dabei ist?

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Es gibt insgesamt ( 30 8 ) = 30! 8! ⋅ 22! = 30⋅29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23 8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 5852925 verschiedene Möglichkeiten, die 8 Kugeln aus den 30 zu ziehen, bzw. von 30 Zahlen 8 anzukreuzen.

Wenn man jetzt die Möglichkeiten zählen will, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn eine der gezogenen Zahlen die 16 ist, bzw. wie viele Möglichkeiten es gibt, 8 von 30 Zahlen anzukreuzen, wobei ein Kreuz sicher auf der der 16 sein muss, dann ist das doch genau das gleiche, wie wenn man die Möglichkeiten zählt, 7 Kreuze auf 29 Zahlen (alle außer der 16) zu setzen, also ( 29 7 ) = 29! 7! ⋅ 22! = 29⋅28⋅27⋅26⋅25⋅24⋅23 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 1560780.

Die Wahrscheinlichkeit lässt sich somit mit der Laplace-Formel berechnen:

P = Anzahl der gewünschten Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse = 1560780 5852925 ≈ 0.2667, also ca. 26.67%.

Formel v. Bernoulli

Beispiel:

Es soll geprüft werden, ob die Würfel eines Casinos gezinkt sind.Dazu wird mit einem Würfel 100-mal gewürfelt. Es werden hierbei 11 6er erzielt.Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für 11 6er bei 100 Würfen.

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=100 und p= 1 6 .

P 1 6 100 (X=11) = ( 100 11 ) ⋅ ( 1 6 )11 ⋅ ( 5 6 )89 =0.03502353705028≈ 0.035
(TI-Befehl: binompdf(100,1/6,11))

kumulierte WS aus Histogramm finden

Beispiel:

Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

In der Abbildung rechts ist das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X zu sehen. Finde das kleinste k, für das gilt P(X ≤ k) ≥ 0.25.

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Wir lesen einfach die Säulenhöhen aus dem Histogramm ab und addieren diese Werte:

kP(X = k)P(X ≤ k)
0≈ 0.03≈ 0 + 0.03 = 0.03
1≈ 0.13≈ 0.03 + 0.13 = 0.16
2≈ 0.23≈ 0.16 + 0.23 = 0.39
Du hast entweder einen veralteten Browser oder Javascript ausgeschaltet. Deswegen kannst du leider das Schaubild nicht sehen :(

Während P(X ≤ 1) = 0.16 also noch klar unter der geforderten Wahrscheinlichkeit von 0.25 liegt, ist P(X ≤ 2) = 0.39 klar darüber.

Somit ist das gesuchte k = 2.

kumulierte Binomialverteilung

Beispiel:

Ein Zufallsexperiment wird 90 mal wiederholt. Jedesmal beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p= 0,45. Wie groß ist dabei die Wahrscheinlichkeit, weniger als 41 Treffer zu erzielen?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=90 und p=0.45.

P0.4590 (X<41) = P0.4590 (X≤40) = P0.4590 (X=0) + P0.4590 (X=1) + P0.4590 (X=2) +... + P0.4590 (X=40) = 0.50141586577035 ≈ 0.5014
(TI-Befehl: binomcdf(90,0.45,40))

Binomialverteilung X>=k

Beispiel:

Bei einem Glücksrad ist die Wahrscheinlichkeit im grünen Bereich zu landen bei p=0,8. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 46 Versuchen mindestens 39 mal im grünen Bereich zu landen?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Drehungen, die im grünen Bereich landen, an. X ist binomialverteilt mit n=46 und p=0.8.

...
36
37
38
39
40
41
...

P0.846 (X≥39) = 1 - P0.846 (X≤38) = 0.2733
(TI-Befehl: 1-binomcdf(46,0.8,38))

Binomialverteilung l < X < k

Beispiel:

Ein partystarker Schüler muss einen Mulitple Choice Test ablegen, von dem er keinen blassen Schimmer hat. Deswegen rät er einfach bei jeder der 67 Aufgaben munter drauf los, welche der vier Antworten wohl richtig sein könnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er so mindestens 11, aber weniger als 19 Fragen richtig beantwortet hat?

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Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der zufällig richtig beantworteten Fragen an. X ist binomialverteilt mit n=67 und p=0.25.

P0.2567 (11≤X≤18) =

...
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
...

P0.2567 (X≤18) - P0.2567 (X≤10) ≈ 0.6954 - 0.0339 ≈ 0.6615
(TI-Befehl: binomcdf(67,0.25,18) - binomcdf(67,0.25,10))