Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ in der x₃-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ t\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\\ 0\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ t\end{array}\right)$=$\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}=3-3\mathrm{+0}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-6\\ 1\\ -1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ t\end{array}\right)$ = -1⋅t +17 = 0 wird, also t=$17$ = 17.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}-3\\ -1\\ 17\end{array}\right)$

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -2\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 5\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -2\end{array}\right)$=$2\cdot 5+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+5\cdot \mathrm{(-2)}=10\mathrm{+0}-10=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-5\\ -11\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}5\\ t\\ -2\end{array}\right)$ = -11⋅t -33 = 0 wird, also t=$-\frac{33}{11}$ = -3.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ -2\end{array}\right)$

Da die gesuchte Gerade h in der Ebene E liegt und orthogonal zu g steht, muss der Richtungsvevtor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$ der gesuchten Geraden h sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 2\end{array}\right)$ von E als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_g}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$ in der x₂-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=-5\mathrm{+0}\mathrm{+5}=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von E $\left(\begin{array}{c}5\\ -3\\ 2\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}-1\\ t\\ -5\end{array}\right)$ = -3⋅t -15 = 0 wird, also t=$-\frac{15}{3}$=$-5$. Der Richungsvektor der gesuchten Geraden h ist also $\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -5\end{array}\right)$.

Da $\overrightarrow{n}$⋅$\overrightarrow{{\mathrm{rv}}_h}$=$\left(\begin{array}{c}5\\ 0\\ -1\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -5\end{array}\right)$=$5\cdot \mathrm{(-1)}+0\cdot \mathrm{(-5)}+\mathrm{(-1)}\cdot \mathrm{(-5)}=-5\mathrm{+0}\mathrm{+5}=0$ ist, liegt also unsere gesuchte Gerade h entweder parallel zu Ebene E oder sie liegt in ihr. Wir brauchen also noch einen Aufpunkt, der in E liegt, so dass auch die ganze Gerade in E liegen muss.

Wir können jetzt also einen beliebigen Punkt der Ebene E als Aufpunkt für unsere gesuchte Gerade h nehmen:
$\left(5|-2|5\right)$ liegt in E, da:

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ 5\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-1\\ -5\\ -5\end{array}\right)$

Da die gesuchte Ebene die Gerade g beinhaltet und orthogonal zu F steht, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ der gesuchten Ebene E sowohl zum Normalenvektor $\overrightarrow{n_F}$=$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$ von F als auch zum Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ von g orthogonal stehen.

Weil beim Richungsvektor $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 3\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinaten eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zur Geraden, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-3)}=0\mathrm{+9}-9=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Normalenvektor von F $\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 1\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ -3\\ -3\end{array}\right)$ = 2⋅t -12 = 0 wird, also t=$\frac{12}{2}$=$6$. Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist also $\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -3\end{array}\right)$, die Ebenengleichung also: $6x_1-3x_2-3x_3=\mathrm{d}$.

Da $\overrightarrow{\mathrm{rv}}$⋅$\overrightarrow{n_E}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ -3\\ 3\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}6\\ -3\\ -3\end{array}\right)$=$0\cdot 6+\mathrm{(-3)}\cdot \mathrm{(-3)}+3\cdot \mathrm{(-3)}=0\mathrm{+9}-9=0$ ist, liegt also g entweder parallel zu unserer gesuchten Ebene E oder sie liegt in ihr. Wenn der Aufpunkt $\left(3|-2|0\right)$ in E liegt, muss also auch die ganze Gerade in E liegen. Wir setzen also $\left(3|-2|0\right)$ in E ein:

Die gesuchte Ebene ist also E: $6x_1-3x_2-3x_3=24$

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -7\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -7\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-7\\ -6\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6·\left(-7\right)-6·6\\ 6·\left(-6\right)-\left(-7\right)·\left(-7\right)\\ -7·6-\left(-6\right)·\left(-6\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}42-36\\ -36-49\\ -42-36\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -85\\ -78\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=11 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}-19\\ -6\\ 6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-19\\ -6\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 85\\ 78\end{array}\right)$.

Wenn die Punkte der gesuchten Geraden alle den gleichen Abstand zu E haben, dann muss die Gerade parallel zu E sein. Der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ muss also orthogonal zum Normalenvektor von E sein: $\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ = 0.

Das gleiche gilt natürlich auch für die Ebene F, auch zu dieser Ebene muss g parallel sein. Auch hier muss also gelten, dass der Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ orthogonal zum Normalenvektor von F sein muss:
$\overrightarrow{u}$⋅$\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ = 0.

Wir suchen also einen Richtungsvektor, der sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -3\end{array}\right)$ ist. Dieses Problem kennen wir ja bereits und können wir mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) lösen:

$\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-2\\ -3\\ 6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-2\\ 6\\ -3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3·\left(-3\right)-6·6\\ 6·\left(-2\right)-\left(-2\right)·\left(-3\right)\\ -2·6-\left(-3\right)·\left(-2\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9-36\\ -12-6\\ -12-6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-27\\ -18\\ -18\end{array}\right)$ = -9⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$

Als Stützvektor dieser Geraden brauchen wir einen Punkt, der von beiden Ebenen den gleichen Abstand d=7 hat. Dafür können wir natürlich einfach den Ortsvektor des gegebenen Punkts $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 6\end{array}\right)$ nehmen.

Eine mögliche Gleichung solch einer Gerade wäre also g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}4\\ -3\\ 6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$.

Der Vektor $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ muss orthogonal zu $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ sein, weil ABCD ja ein Rechteck mit lauter rechten Winkeln ist. Außerdem muss $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ aber auch noch orthogonal zum Normalenvektor der Ebene $\overrightarrow{n}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ sein, weil ja alle Punkte und deren Verbindungsvektoren in der Ebene liegen.

Und die Richtung, die sowohl orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ als auch zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$ sein muss, können wir mit dem Vektorprodukt berechnen:

k⋅$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·0-3·1\\ 3·0-4·0\\ 4·1-0·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0-3\\ 0+0\\ 4+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$

Die Länge des Vektors können wir über den Flächeninhalt berechnen:

A = $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$\right|$⋅ $|k·\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)|$ = 100

mit $\left|$ \left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{4^2+0^2+3^2}=\sqrt{25}=5$ und $\left|$ \left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-3)}}^2+0^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ gilt somit:

5 ⋅ k⋅5 = 100 | :25

k = $\frac{\mathrm{100}}{\mathrm{25}}$ = 4

Für den Ortsvektor des gesuchten Punkts C gilt somit:
$\overrightarrow{\mathrm{0C}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ + 4⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-12\\ 0\\ 16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-8\\ 0\\ 19\end{array}\right)$
bzw. $\overrightarrow{\mathrm{0C\text{'}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{0B}}$ - 4⋅$\left(\begin{array}{c}-3\\ 0\\ 4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}4\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}12\\ 0\\ -16\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}16\\ 0\\ -13\end{array}\right)$

Die Koordinaten von C sind somit C$\left(-8|0|19\right)$ oder C'$\left(16|0|-13\right)$.

Wir nennen den Schnittpunkt der gesuchten Gerade mit der x₂-Achse Q_c(0|c|0). Damit muss $\overrightarrow{Q_{c}P}$=$\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{12\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ der Richtungsvektor der gesuchten Gerade sein.

Wenn diese Gerade nun parallel zur Ebene E sein soll, muss der Normalenvektor von E orthogonal zu $\overrightarrow{Q_{c}P}$ sein, also gilt:

0 = $\left(\begin{array}{c}4\\ 1\\ 4\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{12\; -\; c}\\ -1\end{array}\right)$ = $4·0+1·\left(12-c\right)+4·\left(-1\right)$ = $0+\left(12-c\right)-4$

Damit ist der Richtungsvektor der gesuchten Gerade $\overrightarrow{Q_{8}P}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$

Die gesuchte Gerade ist also h: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}0\\ 12\\ -1\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -1\end{array}\right)$