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Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (95 - 2501) mod 5.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(95 - 2501) mod 5 ≡ (95 mod 5 - 2501 mod 5) mod 5.

95 mod 5 ≡ 0 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 95 = 90+5 = 5 ⋅ 18 +5.

2501 mod 5 ≡ 1 mod 5 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 2501 = 2500+1 = 5 ⋅ 500 +1.

Somit gilt:

(95 - 2501) mod 5 ≡ (0 - 1) mod 5 ≡ -1 mod 5 ≡ 4 mod 5.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (70 ⋅ 69) mod 6.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(70 ⋅ 69) mod 6 ≡ (70 mod 6 ⋅ 69 mod 6) mod 6.

70 mod 6 ≡ 4 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 70 = 66 + 4 = 11 ⋅ 6 + 4 ist.

69 mod 6 ≡ 3 mod 6 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 69 = 66 + 3 = 11 ⋅ 6 + 3 ist.

Somit gilt:

(70 ⋅ 69) mod 6 ≡ (4 ⋅ 3) mod 6 ≡ 12 mod 6 ≡ 0 mod 6.

modulo Potenzieren einfach

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 113¹⁶ mod 293.

Lösung einblenden

Die 16 im Exponent ist ja ein reine 2er-Potenz (2⁴).

Deswegen quadrieren wir einfach mit jedem Schritt das Ergebnis und kommen so immer eine 2er-Potenz im Exponenten höher:

Zur technischen Durchführung mit einem TI-WTR bietet sich folgende Vorgehensweise an:
1. 113 -> x
2. mod(x²,293) -> x

den Pfeil "->" erhält man durch Drücken der [sto->]-Taste
die x-Taste ist direkt darüber
"mod" erhält man durch [math]->NUM->8:mod
das Komma "," erhält man durch Drücken von [2nd][.]

1: 113¹=113

2: 113²=113¹⁺¹=113¹⋅113¹ ≡ 113⋅113=12769 ≡ 170 mod 293

4: 113⁴=113²⁺²=113²⋅113² ≡ 170⋅170=28900 ≡ 186 mod 293

8: 113⁸=113⁴⁺⁴=113⁴⋅113⁴ ≡ 186⋅186=34596 ≡ 22 mod 293

16: 113¹⁶=113⁸⁺⁸=113⁸⋅113⁸ ≡ 22⋅22=484 ≡ 191 mod 293

modulo Potenzieren große Zahlen

Beispiel:

Berechne möglichst geschickt: 393²⁰⁷ mod 857.

Lösung einblenden

Wir berechnen zuerst mal alle 2er-Potenzen, die kleiner sind 207 (grauer Kasten).

Dann schauen wir die Binärdarstellung von 207 an und zerlegen 207 in eine Summer von 2er-Potenzen:

207 = 128+64+8+4+2+1

1: 393¹=393

2: 393²=393¹⁺¹=393¹⋅393¹ ≡ 393⋅393=154449 ≡ 189 mod 857

4: 393⁴=393²⁺²=393²⋅393² ≡ 189⋅189=35721 ≡ 584 mod 857

8: 393⁸=393⁴⁺⁴=393⁴⋅393⁴ ≡ 584⋅584=341056 ≡ 827 mod 857

16: 393¹⁶=393⁸⁺⁸=393⁸⋅393⁸ ≡ 827⋅827=683929 ≡ 43 mod 857

32: 393³²=393¹⁶⁺¹⁶=393¹⁶⋅393¹⁶ ≡ 43⋅43=1849 ≡ 135 mod 857

64: 393⁶⁴=393³²⁺³²=393³²⋅393³² ≡ 135⋅135=18225 ≡ 228 mod 857

128: 393¹²⁸=393⁶⁴⁺⁶⁴=393⁶⁴⋅393⁶⁴ ≡ 228⋅228=51984 ≡ 564 mod 857

393²⁰⁷

= 393^{128+64+8+4+2+1}

= 393¹²⁸⋅393⁶⁴⋅393⁸⋅393⁴⋅393²⋅393¹

≡ 564 ⋅ 228 ⋅ 827 ⋅ 584 ⋅ 189 ⋅ 393 mod 857
≡ 128592 ⋅ 827 ⋅ 584 ⋅ 189 ⋅ 393 mod 857 ≡ 42 ⋅ 827 ⋅ 584 ⋅ 189 ⋅ 393 mod 857
≡ 34734 ⋅ 584 ⋅ 189 ⋅ 393 mod 857 ≡ 454 ⋅ 584 ⋅ 189 ⋅ 393 mod 857
≡ 265136 ⋅ 189 ⋅ 393 mod 857 ≡ 323 ⋅ 189 ⋅ 393 mod 857
≡ 61047 ⋅ 393 mod 857 ≡ 200 ⋅ 393 mod 857
≡ 78600 mod 857 ≡ 613 mod 857

Es gilt also: 393²⁰⁷ ≡ 613 mod 857

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Beispiel:

Berechne mit Hilfe des erweiterten Euklid'schen Algorithmus das Modulo-53-Inverse zur Zahl 42.

Also bestimme x, so dass 42 ⋅ x ≡ 1 mod 53 gilt:

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Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

=>53	= 1⋅42 + 11
=>42	= 3⋅11 + 9
=>11	= 1⋅9 + 2
=>9	= 4⋅2 + 1
=>2	= 2⋅1 + 0

also gilt: ggt(53,42)=1

Jetzt formen wir jede Zeile von unten nach oben um indem wir das Prokukt auf die andere Seite bringen.
Wir starten mit der zweitletzten Zeile:

1= 9-4⋅2
2= 11-1⋅9	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 1⋅9 -4⋅(11 -1⋅ 9) = 1⋅9 -4⋅11 +4⋅ 9) = -4⋅11 +5⋅ 9 (=1)
9= 42-3⋅11	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= -4⋅11 +5⋅(42 -3⋅ 11) = -4⋅11 +5⋅42 -15⋅ 11) = 5⋅42 -19⋅ 11 (=1)
11= 53-1⋅42	eingesetzt in die Zeile drüber:	1	= 5⋅42 -19⋅(53 -1⋅ 42) = 5⋅42 -19⋅53 +19⋅ 42) = -19⋅53 +24⋅ 42 (=1)

Es gilt also: ggt(53,42)=1 = -19⋅53 +24⋅42

oder wenn man -19⋅53 auf die linke Seite bringt:

1 +19⋅53 = +24⋅42

Es gilt also: 24⋅42 = 19⋅53 +1

Somit 24⋅42 = 1 mod 53

24 ist also das Inverse von 42 mod 53

Schlüsselpaar für RSA

Beispiel:

Berechne mit dem RSA-Verfahren ein Schlüsselpaar zu den beiden Primzahlen p = 41 und q = 61. Aus Sicherheitsgründen sollte der selbst gewählte geheime Schlüssel nicht zu klein sein, hier also mindestens 500.

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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Modulo addieren

Modulo multiplizieren

modulo Potenzieren einfach

modulo Potenzieren große Zahlen

erweiterter Euklid'scher Algorithmus

Berechnung des größten gemeinsamen Teilers von 53 und 42

Schlüsselpaar für RSA