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Exponentialgleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 4^{x}$ = $8$

Lösung einblenden

$2 \cdot 4^{x}$	=	$8$	\|: $2$
$4^{x}$	=	$4$	\|lg(⋅)
$\lg (4^{x})$	=	$\lg (4)$
$x \cdot \lg (4)$	=	$\lg (4)$	\|: $\lg (4)$
$x$	=	$\frac{\lg (4)}{\lg (4)}$

x

1

L={ $1$ }

Man erkennt bereits bei $4^{x}$ = 4 die Lösung x = 1.

Exponentialgleichungen

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 \cdot 10^{x}$ = $5$

Lösung einblenden

$2 \cdot 10^{x}$	=	$5$	\|: $2$
$10^{x}$	=	$\frac{5}{2}$	\|lg(⋅)
$x$	=	$\lg (\frac{5}{2})$	≈ 0.3979

L={ $\lg (\frac{5}{2})$ }

Exponentialgleichungen (schwer)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 7 \cdot 3^{x} + 1$ = $- 2 \cdot 3^{x + 1}$

Lösung einblenden

$- 7 \cdot 3^{x} + 1$ = $- 2 \cdot 3^{x + 1}$ | $+ 2 \cdot 3^{x + 1}$ $- 1$

$2 \cdot 3^{x + 1} - 7 \cdot 3^{x}$ = $- 1$

Wir müssen $2 \cdot 3^{x + 1}$ in $2 \cdot 3^{x} \cdot 3$ aufspalten um die beiden 3er-Potenzen miteinader verrechnen zu können:

$2 \cdot 3^{x} \cdot 3 - 7 \cdot 3^{x}$ = $- 1$

$6 \cdot 3^{x} - 7 \cdot 3^{x}$ = $- 1$

$- 3^{x}$	=	$- 1$	\|: $- 1$
$3^{x}$	=	$1$	\|lg(⋅)
$\lg (3^{x})$	=	0
$x \cdot \lg (3)$	=	0	\|: $\lg (3)$
$x$	=	$\frac{0}{\lg (3)}$

x

L={0}

Exponentialgleichungen (Anwendung)

Beispiel:

Weltweit kann man die Anzahl einer Insektenart näherungsweise durch die Funktion f mit f(t)= $98 \cdot {0,75}^{t}$ darstellen (t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, f(t) in Millionen). Bestimme den Zeitpunkt, wann die Anzahl dieser Insekten auf 65 Millionen zurück gegangen ist.

Lösung einblenden

Gesucht wird das t mit f(t) = 65, also $98 \cdot {0,75}^{t}$ = 65.

$98 \cdot {0,75}^{t}$	=	$65$	\|: $98$
${0,75}^{t}$	=	$\frac{65}{98}$	\|lg(⋅)
$\lg ({0,75}^{t})$	=	$\lg (\frac{65}{98})$
$t \cdot \lg (0,75)$	=	$\lg (\frac{65}{98})$	\|: $\lg (0,75)$
$t$	=	$\frac{\lg (\frac{65}{98})}{\lg (0,75)}$

t

1,4272

Zum Zeitpunkt t ≈ $1,4272$ Jahre ist der Bestand 65 Millionen.