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Relative Häufigkeiten

Beispiel:

An einem Sommertag wird an einer Kreuzung in der Stadt eine Verkehrszählung durchgeführt. Dabei werden in einer Stunde 27 Autos mit Verbrennungsmotor, 29 Elektroautos, 25 Fahrradfahrer und 19 Fußgänger gezählt.Bestimme die relativen Häufigkeiten der verschiedenen Verkehrsteilnehmer in Prozent.

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Zuerst addieren wir alle Verkehrsteilnehmer zusammen und erhalten: 27 + 29 + 25 + 19 = 100

Um nun die relative Häufigkleit zu bestimmen, müssen wir einfach jede Zahl durch die Gesamtsumme 100 teilen:

Um dann aus dem Bruch auf die Prozentzahl zu kommen, müssen wir den Bruch so erweitern und evtl. wieder kürzen, dass der Nenner 100 wird:

Verbrennungsmotor-Auto: 27 100 = 27%

Elektroauto: 29 100 = 29%

Fahrrad: 25 100 = 25%

Fußgänger: 19 100 = 19%

Relative Häufigkeiten rückwärts

Beispiel:

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(Die Innenwinkel aller Sektoren
sind Vielfache von 45°)

Bei einer Datenerhebung werden 160 Personen befragt. Die prozentuale Anteile für die Optionen A, B und C sind in dem Kreisdiagramm rechts dargestellt.

Bestimme jeweils die tatsächlichen Anzahlen an Personen, die für A, B oder C gestimmt haben.

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Da ja gegeben ist, dass alle Innenwinkel der Sektoren des Kreisdiagramms Vielfache von 45° sind, kann man schnnell die Innenwinkel der einzelnen Sektoren bestimemen:

A: 180°

B: 90°

C: 45°

D: 45°

Wenn wir nun diese Winkel durch 360° teilen, erhalten wir die relativen Häufigkeiten.

Diese müssen wir dann nur noch mit der Gesamtzahl n=160 multiplizieren, um auf die tatsächlichen Personenzahlen zu kommen:

Optionrelative Häufigkeittatsächliche Zahl
A 180 360 = 1 2 1 2 ⋅160 = 80
B 90 360 = 1 4 1 4 ⋅160 = 40
C 45 360 = 1 8 1 8 ⋅160 = 20
D 45 360 = 1 8 1 8 ⋅160 = 20

Mittelwert berechnen

Beispiel:

Bestimme den Mittelwert von: 4,7g; 3,3g; 7,1g; 1,3g

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Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

4,7g + 3,3g + 7,1g + 1,3g = 16,4g

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 4, teilen:

Mittelwert m = 16,4 4 g = 4,1g

Mittelwert rückwärts

Beispiel:

Die Werte 2; 4; 5; 5; ⬜; 10; 5 haben den Mittelwert 6.

Welchen Wert muss dann das Kästchen ⬜ haben?

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Wir wissen ja, dass man den Mittelwert erhält, indem man alle Werte zusammenzählt und das Ergebnis durch die Anzahl der Werte dividiert, also:

2+4+5+5+⬜+10+5 7 = 6

Wenn wir nun alle Werte addieren erhalten wir:

31+⬜ 7 = 6

Wenn wir die Summe im Zähler durch 7 teilen, erhalten wir 6.

Also muss doch die Summe im Zähler selbst gerade das 7-fache von 6, also 7 ⋅ 6 = 42 sein, also ...

31 + ⬜ = 42

Jetzt sieht man relativ leicht, dass dass Kästchen ⬜ = 42 - 31 sein muss.

⬜ = 11

Kenngrößen bestimmen

Beispiel:

Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite und den Mittelwert von:

90; 80; 130; 90; 110

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Minimum und Maximum

Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 80 und der größte Wert, also das Maximum 130 ist.

Spannweite

Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 130 - 80 = 50.

Mittelwert

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

90 + 80 + 130 + 90 + 110 = 500

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 5, teilen:

Mittelwert m = 500 5 = 100

Median bestimmen

Beispiel:

Gib mit Hilfe der Rangliste den Median an.

Urliste: 8; 4; 11; 8; 18; 16; 18; 5; 5; 11

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Zuerst sortieren wir die Datenliste:

  1. -> 4
  2. -> 5
  3. -> 5
  4. -> 8
  5. -> 8
  6. -> 11
  7. -> 11
  8. -> 16
  9. -> 18
  10. -> 18

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Median den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 8) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 11) berechnen.
also (8+11):2 = 9,5

Kenngrößen (mit Median)

Beispiel:

Bestimme jeweils das Minimum, das Maximum, die Spannweite, den Mittelwert und den Median von:

7 €; 8 €; 12 €; 13 €; 14 €; 12 €

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Minimum und Maximum

Wenn man sich alle Werte durchschaut, erkennt man schnell, dass der kleinst Wert, also das Minimum 7 € und der größte Wert, also das Maximum 14 € ist.

Spannweite

Die Spannweite ist einfach die Differenz zwischen dem Maximum und dem Minimum, also 14 € - 7 € = 7 €.

Mittelwert

Um den Mittelwert zu ermitteln, müssen wir zuerst alle Werte addieren:

7 € + 8 € + 12 € + 13 € + 14 € + 12 € = 66 €

... und dann diese Summe durch die Anzahl der Werte, also hier 6, teilen:

Mittelwert m = 66 6 € = 11 €

Median

Zuerst sortieren wir die Datenliste:

  1. -> 7
  2. -> 8
  3. -> 12
  4. -> 12
  5. -> 13
  6. -> 14

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Median den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 12) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 12) berechnen.
also (12+12):2 = 12 €

Median und Quartile

Beispiel:

Bestimme von der folgenden Datenmenge den Median, das untere und das obere Quartil.

  • 227
  • 90
  • 624
  • 107
  • 126
  • 590
  • 730
  • 663
  • 98
  • 971

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Zuerst sortieren wir die Datenliste:

  1. -> 90
  2. -> 98
  3. -> 107
  4. -> 126
  5. -> 227
  6. -> 590
  7. -> 624
  8. -> 663
  9. -> 730
  10. -> 971

Da die Datenmenge eine gerade Anzahl hat, müssen wir für den Median den Mittelwert zwischen größtem Wert der unteren Hälfte (also 227) und dem kleinstem Wert der oberen Hälfte (hier 590) berechnen.
also (227+590):2 = 408.5

Das untere Quartil ist nun wieder der Median der unteren Hälfte der Liste, also der unteren 5 Werte (bis 227), also einfach der mittlere Wert : 107
Das obere Quartil ist dann wieder der Median der oberen Hälfte der Liste, also ab 590, also einfach der mittlere Wert : 663

Säulendiagramm ablesen

Beispiel:

In einer Gummibärchenpackung sind Gummibärchen verschiedener Farben enthalten.

Gib die Anzahlen der verschiedenen Farben jeweils als Zahlen an.

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Wir schauen einfach bei jeder Säule das obere Ende an und verfolgen die waagrechte Linie ganz nach links bis zur Skalierung an der y-Achse. Dort können wir die gesuchte Zahl ablesen und erhalten so:

weißgrünrotorangegelb
104956

Säulendiagramm zeichnen

Beispiel:

Stelle die Säulen auf die korrekten Werte ein, indem du sie mit der Maus oder dem Finger nach oben ziehst.

  • rot: 78
  • blau: 158
  • gelb: 44
  • grün: 168
  • lila: 64

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Wie beim Eintragen am Zahlenstrahl, muss man auf der Skala links vom Diagramm, den vorgegebenen Wert jeweils finden und dann die Säule entsprechend weit hochziehen.