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Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Beispiel:

Ein Basketballspieler mit einer Trefferquote von 80% wirft 20 mal auf den Korb. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass er dabei genau 13 mal trifft.

Bestimme hierfür a, b, c, d und e so, dass man mit der folgenden Formel die gesuchte Wahrscheinlichkeit berechnen kann.

P(X = 13) = $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) \cdot {0.8}^{c} \cdot d^{e}$

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Man könnte die Wahrscheinlichkeit ja theoretisch auch mit einem Baumdiagramm mit 20 Ebenen lösen.

Der Binomialkoeffizient $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ vorne steht dann für die Anzahl der relevanten Pfade, also der Pfade, bei denen 13 mal getroffen und 7 mal nicht getroffen wird. Davon gibt es $(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})$ , wobei n für die Anzahl aller Versuche und k für die Anzahl der Treffer steht, also muss hier a=20 und b=13 sein.

Die beiden Potenzen danach geben die Wahrscheinlichkeit eines dieser $(\begin{matrix} 20 \\ 13 \end{matrix})$ Pfade an. Da ja in jedem Pfad 13 Treffer und 7 Nicht-Treffer vorkommen und man die Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren muss, ist die Wahrscheinlichkeit eines dieser Pfade:
${0.8}^{13}$ ⋅ ${0.2}^{7}$

Somit muss d = 0.2, sowie c = 13 und e = 7 sein.

Bernoulli-Formel vervollständigen

Beispiel:

Ein idealer Würfel wird 15 mal geworfen.

Für welches der aufgeführten Ereignisse könnte der Term P = 1 - ${(\frac{1}{6})}^{15}$ - $(\begin{matrix} 15 \\ a \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{6})}^{14} \cdot {(\frac{b}{6})}^{c}$ die Wahrscheinlichkeit angeben?

Bestimme für diesen Fall die fehlenden Parameter a, b und c, so dass die Formel auch tatsächlich korrekt ist.

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Es machen zwei Zufallsgrößen Sinn:
X : Anzahl der Treffer (also es wird eine 6 gewürfelt)
Y : Anzahl der Nicht-Treffer (also es wird keine 6 gewürfelt)

Beim ersten Summand nach dem "1-", also bei ${(\frac{1}{6})}^{15}$ steht ja die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis und die Gesamtanzahl n=15 in der Hochzahl. Dieser Teilterm gibt also die Wahrscheinlichkeit für 15 Treffer bzw. 0 Nicht-Treffer an, also P(X=15) bzw. P(Y=0).

Beim zweiten längeren Term erkennt man die Potenz ${(\frac{1}{6})}^{14}$ , bei dem die gegebene Wahrscheinlichkeit in der Basis steht. Weil 14 in der Hochzahl steht, muss das also die Wahrscheinlichkeit für 14 Treffer sein, also P(X=14) bzw. P(Y=1).

Diese beiden Teilwahrscheinlichkeiten werden von der 1 abgezogen, d.h. der gegebene Term gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis an, also in diesem Fall, dass alle Möglichkeiten außer 15 und 14 Treffer möglich sind, also 13, 12, ..., kurz P(X≤13) bzw. P(Y≥2).

X: Treffer:

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

Y: keine Treffer:

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Somit ist die gesuchte Option: Höchstens 13 mal wird eine 6 gewürfelt oder eben gleich bedeutend: Mehr als 1 mal wird keine 6 gewürfelt.

Weil ja in der Basis der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) die gegebene Wahrscheinlichkeit steht, muss in der Basis der zweiten Potenz die Gegenwahrscheinlichkeit stehen. Somit ist b = 5.

Die Hochzahl der ersten Potenz (im hinteren Bernoulliformel-Term) gibt die Anzahl der "Treffer" an, somit kann man bei 15 Versuchen die Anzahl der "Nicht-Treffer" mit c = 1 bestimmen.

Die Anzahl der richtigen Pfade (mit 14 Treffer und 1 Nicht-Treffer) steht vorne im Binomialkoeffizient mit $(\begin{matrix} 15 \\ 14 \end{matrix})$ , also ist a = 14 (hier ist auch a=1 möglich).

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von 65% und wirft 29 mal auf dem Korb. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von den ersten 10 Versuchen genau 7 mal und von den restlichen Versuchen höchstens 13 mal trifft.

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Wir können die beiden Ereignisse als zwei getrennte von einander unabhängige Zufallsversuche betrachten, dabei betrachten wir zuerst die ersten 10 Durchgänge:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. X ist binomialverteilt mit n=10 und p=0.65.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des ersten Teilereignisses berechnet man jetzt einfach als $P_{0.65}^{10} (X = 7)$ ≈ 0.2522.

Analog betrachten wir nun die restlichen 19 Durchgänge:

Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Treffer des BB-Spielers an. Y ist binomialverteilt mit n=19 und p=0.65.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des zweiten Teilereignisses berechnet man nun als $P_{0.65}^{19} (Y \leq 13)$ ≈ 0.7032.

Da die beiden Teilereignisse unabhängig voneinander sind und ja beide eintreten sollen, müssen wir nun die beiden Teilwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren um die gesuchte Gesamtwahrscheinlcihkeit zu erhalten:

P = $P_{0.65}^{10} (X = 7)$ ⋅ $P_{0.65}^{19} (Y \leq 13)$ = 0.2522 ⋅ 0.7032 ≈ 0.1773

zwei unabhängige Binom.

Beispiel:

Ein Biathlet hat beim Liegendschießen eine Trefferquote von 93% und im Stehen 85%. Beim Sprintwettbewerb muss er 5 mal liegend und 5 mal im Stehen schießen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dabei mindestens 9 mal trifft?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst überlegen wir mit welchen Kombinationen man auf die Summe von mindestens 9 kommen kann:

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen
5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen
5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

4 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.93.

P_{0.93}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.93}^{4} \cdot {0.07}^{1}

≈ 0.2618
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.85.

P_{0.85}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.85}^{5} \cdot {0.15}^{0}

≈ 0.4437
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p1=0.2618 ⋅ 0.4437 = 0.11616066

5 mal Liegendschießen und 4 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.93.

P_{0.93}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.93}^{5} \cdot {0.07}^{0}

≈ 0.6957
Die Wahrscheinlichkeit für 4 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.85.

P_{0.85}^{5} (X = 4)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix}) \cdot {0.85}^{4} \cdot {0.15}^{1}

≈ 0.3915
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p2=0.6957 ⋅ 0.3915 = 0.27236655

5 mal Liegendschießen und 5 mal Stehendschießen

Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Liegendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.93.

P_{0.93}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.93}^{5} \cdot {0.07}^{0}

≈ 0.6957
Die Wahrscheinlichkeit für 5 mal Stehendschießen ist

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=5 und p=0.85.

P_{0.85}^{5} (X = 5)

=

(\begin{matrix} 5 \\ 5 \end{matrix}) \cdot {0.85}^{5} \cdot {0.15}^{0}

≈ 0.4437
Da die beiden Ereignisse unabhängig voneinander sind, darf man die Wahrscheinlichkeiten multilplizieren, um die Wahrscheinlichkeit, dass beides eintritt, zu erhalten.
p3=0.6957 ⋅ 0.4437 = 0.30868209

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhält man nun, indem man die Wahrscheinlichkeiten der 3 Kombinationen addiert:

0.1162 + 0.2724 + 0.3087 = 0.6972

Kombination Binom.-Baumdiagramm

Beispiel:

Ein fernöstlicher LED-Hersteller hat Probleme in der Qualitätssicherung, so dass 9% seiner Leuchtmittel defekt sind. Diese werden in Kartons a 50 Stück verpackt. Ein Großhändler öffnet testweise zwei Kartons der Lieferung und prüft die darin enthaltenen Leuchtmittel. Nur wenn in keiner der Packungen mehr als 2 Stück defekt sind nimmt er die Lieferung an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Lieferung annimmt?
(Bitte auf 4 Stellen nach dem Komma runden)

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Zuerst berechnen wir mit Hilfe der Binomialverteilungsfunktionen die Einzelwahrscheinlichkeiten für 'kiste ok'.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und unbekanntem Parameter p.

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Treffer bei 50 Versuchen mit einer Einzelwahrscheinlichkeiten von 0.09, also $P_{0.09}^{50} (X \leq 2)$

Dazu kann man ja einfach die kumulierte Binomialverteilungsfunktion benutzen:

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=50 und p=0.09.

P_{0.09}^{50} (X \leq 2)

=

P_{0.09}^{50} (X = 0)

+

P_{0.09}^{50} (X = 1)

+

P_{0.09}^{50} (X = 2)

= 0.16054049072451 ≈ 0.1605
(TI-Befehl: binomcdf(50,0.09,2))

Damit kennen wir nun die Einzelwahrscheinlichkeiten von 'kiste ok' (p=0.1605) und 'nicht ok'(p=0.8395).

Jetzt können wir mit einem Baumdiagramm die Gesuchte Endwahrscheinlichkeit berechnen.

Gesucht ist ja 0 mal 'nicht ok'

Ereignis	P
kiste ok -> kiste ok	$0,0258$
kiste ok -> nicht ok	$0,1347$
nicht ok -> kiste ok	$0,1347$
nicht ok -> nicht ok	$0,7048$

Einzel-Wahrscheinlichkeiten: P("kiste ok")= $0,1605$ ; P("nicht ok")= $0,8395$ ;

Die relevanten Pfade sind:

'kiste ok'-'kiste ok' (P= $0,0258$ )

Die Lösung ist also die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten:

$0,0258$ = $0,0258$

feste Reihenfolge im Binomialkontext

Beispiel:

Bei einem Glücksrad beträgt die Wahrscheinlichkeit für den grünen Bereich 75%. Es wird 9 mal gedreht.Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau 3 mal in den grünen Bereich gedreht wird und diese Drehungen unmittelbar hintereinander erfolgen (also ohne, dass dazwischen mal nicht in den grünen Bereich gedreht wird).

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Wenn die Reihenfolge keine Rolle spielen würde, könnten wir ja einfach die Wahrscheinlichkeit von 3 Treffer bei 9 Versuchen mit der Formel von Bernoulli berechnen: $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ ⋅ ${0.75}^{3}$ ⋅ ${0.25}^{6}$

Dabei gibt ja ${0.75}^{3}$ ⋅ ${0.25}^{6}$ die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Pfads mit 3 Treffer und 6 Nicht-Treffern und $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ die Anzahl solcher Pfade an.

Hier spielt nun aber die Reihenfolge eine Rolle, also haben wir nicht alle möglichen $(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix})$ Anordnungen der Treffer sondern nur die ausgewählten (bei denen die Treffer benachbart sind), das sind im Einzelnen:

XXXOOOOOO

OXXXOOOOO

OOXXXOOOO

OOOXXXOOO

OOOOXXXOO

OOOOOXXXO

OOOOOOXXX

Es gibt also genau 7 verschiedene mögliche Reihenfolgen für diese benachbarten Treffer, somit gilt für die Gesamtwahrscheinlichkeit:
P = 7 ⋅ ${0.75}^{3}$ ⋅ ${0.25}^{6}$ ≈ 0.0007

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Bernoulli-Formel vervollständigen (einfach)

Bernoulli-Formel vervollständigen

Binomial-Aufgabe mit 2 Ereignissen

zwei unabhängige Binom.

Kombination Binom.-Baumdiagramm

feste Reihenfolge im Binomialkontext