nach Aufgabentypen suchen

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

einfache Modulo Aufgabe

Beispiel:

Bestimme (die kleinste natürliche Zahl für die gilt:) 58 mod 4.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 4 ist 56, weil ja 14 ⋅ 4 = 56 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 58 - 56 = 2.

Somit gilt: 58 mod 4 ≡ 2.

Modulo in einem Intervall

Beispiel:

Bestimme eine Zahl n zwischen 30 und 39 für die gilt n ≡ 63 mod 7.

Lösung einblenden

Das nächst kleinere Vielfache von 7 ist 63, weil ja 9 ⋅ 7 = 63 ist.

Also bleibt als Rest eben noch 63 - 63 = 0.

Somit gilt: 63 mod 7 ≡ 0.

Wir suchen also eine Zahl zwischen 30 und 39 für die gilt: n ≡ 0 mod 7.

Dazu suchen wir einfach ein Vielfaches von 7 in der Nähe von 30, z.B. 35 = 5 ⋅ 7

Somit gilt: 35 ≡ 63 ≡ 0 mod 7.

Modulo addieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (123 - 92) mod 3.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(123 - 92) mod 3 ≡ (123 mod 3 - 92 mod 3) mod 3.

123 mod 3 ≡ 0 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 123 = 120+3 = 3 ⋅ 40 +3.

92 mod 3 ≡ 2 mod 3 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 92 = 90+2 = 3 ⋅ 30 +2.

Somit gilt:

(123 - 92) mod 3 ≡ (0 - 2) mod 3 ≡ -2 mod 3 ≡ 1 mod 3.

Modulo multiplizieren

Beispiel:

Berechne ohne WTR: (53 ⋅ 68) mod 8.

Lösung einblenden

Um längere Rechnungen zu vermeiden, rechnen wir:

(53 ⋅ 68) mod 8 ≡ (53 mod 8 ⋅ 68 mod 8) mod 8.

53 mod 8 ≡ 5 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 53 = 48 + 5 = 6 ⋅ 8 + 5 ist.

68 mod 8 ≡ 4 mod 8 kann man relativ leicht bestimmen, weil ja 68 = 64 + 4 = 8 ⋅ 8 + 4 ist.

Somit gilt:

(53 ⋅ 68) mod 8 ≡ (5 ⋅ 4) mod 8 ≡ 20 mod 8 ≡ 4 mod 8.

gemeinsame Modulos finden

Beispiel:

Finde alle natürlichen Zahlen m ≥ 2, für die gilt :
61 mod m = 88 mod m.

Lösung einblenden

1. (etwas umständliche) Möglichkeit:

Wir probieren einfach alle natürliche Zahlen m<= 61 aus, ob zufällig 61 mod m = 88 mod m gilt:

m=2: 61 mod 2 = 1 ≠ 0 = 88 mod 2

m=3: 61 mod 3 = 1 = 1 = 88 mod 3

m=4: 61 mod 4 = 1 ≠ 0 = 88 mod 4

m=5: 61 mod 5 = 1 ≠ 3 = 88 mod 5

m=6: 61 mod 6 = 1 ≠ 4 = 88 mod 6

m=7: 61 mod 7 = 5 ≠ 4 = 88 mod 7

m=8: 61 mod 8 = 5 ≠ 0 = 88 mod 8

m=9: 61 mod 9 = 7 = 7 = 88 mod 9

m=10: 61 mod 10 = 1 ≠ 8 = 88 mod 10

m=11: 61 mod 11 = 6 ≠ 0 = 88 mod 11

m=12: 61 mod 12 = 1 ≠ 4 = 88 mod 12

m=13: 61 mod 13 = 9 ≠ 10 = 88 mod 13

m=14: 61 mod 14 = 5 ≠ 4 = 88 mod 14

m=15: 61 mod 15 = 1 ≠ 13 = 88 mod 15

m=16: 61 mod 16 = 13 ≠ 8 = 88 mod 16

m=17: 61 mod 17 = 10 ≠ 3 = 88 mod 17

m=18: 61 mod 18 = 7 ≠ 16 = 88 mod 18

m=19: 61 mod 19 = 4 ≠ 12 = 88 mod 19

m=20: 61 mod 20 = 1 ≠ 8 = 88 mod 20

m=21: 61 mod 21 = 19 ≠ 4 = 88 mod 21

m=22: 61 mod 22 = 17 ≠ 0 = 88 mod 22

m=23: 61 mod 23 = 15 ≠ 19 = 88 mod 23

m=24: 61 mod 24 = 13 ≠ 16 = 88 mod 24

m=25: 61 mod 25 = 11 ≠ 13 = 88 mod 25

m=26: 61 mod 26 = 9 ≠ 10 = 88 mod 26

m=27: 61 mod 27 = 7 = 7 = 88 mod 27

m=28: 61 mod 28 = 5 ≠ 4 = 88 mod 28

m=29: 61 mod 29 = 3 ≠ 1 = 88 mod 29

m=30: 61 mod 30 = 1 ≠ 28 = 88 mod 30

m=31: 61 mod 31 = 30 ≠ 26 = 88 mod 31

m=32: 61 mod 32 = 29 ≠ 24 = 88 mod 32

m=33: 61 mod 33 = 28 ≠ 22 = 88 mod 33

m=34: 61 mod 34 = 27 ≠ 20 = 88 mod 34

m=35: 61 mod 35 = 26 ≠ 18 = 88 mod 35

m=36: 61 mod 36 = 25 ≠ 16 = 88 mod 36

m=37: 61 mod 37 = 24 ≠ 14 = 88 mod 37

m=38: 61 mod 38 = 23 ≠ 12 = 88 mod 38

m=39: 61 mod 39 = 22 ≠ 10 = 88 mod 39

m=40: 61 mod 40 = 21 ≠ 8 = 88 mod 40

m=41: 61 mod 41 = 20 ≠ 6 = 88 mod 41

m=42: 61 mod 42 = 19 ≠ 4 = 88 mod 42

m=43: 61 mod 43 = 18 ≠ 2 = 88 mod 43

m=44: 61 mod 44 = 17 ≠ 0 = 88 mod 44

m=45: 61 mod 45 = 16 ≠ 43 = 88 mod 45

m=46: 61 mod 46 = 15 ≠ 42 = 88 mod 46

m=47: 61 mod 47 = 14 ≠ 41 = 88 mod 47

m=48: 61 mod 48 = 13 ≠ 40 = 88 mod 48

m=49: 61 mod 49 = 12 ≠ 39 = 88 mod 49

m=50: 61 mod 50 = 11 ≠ 38 = 88 mod 50

m=51: 61 mod 51 = 10 ≠ 37 = 88 mod 51

m=52: 61 mod 52 = 9 ≠ 36 = 88 mod 52

m=53: 61 mod 53 = 8 ≠ 35 = 88 mod 53

m=54: 61 mod 54 = 7 ≠ 34 = 88 mod 54

m=55: 61 mod 55 = 6 ≠ 33 = 88 mod 55

m=56: 61 mod 56 = 5 ≠ 32 = 88 mod 56

m=57: 61 mod 57 = 4 ≠ 31 = 88 mod 57

m=58: 61 mod 58 = 3 ≠ 30 = 88 mod 58

m=59: 61 mod 59 = 2 ≠ 29 = 88 mod 59

m=60: 61 mod 60 = 1 ≠ 28 = 88 mod 60

m=61: 61 mod 61 = 0 ≠ 27 = 88 mod 61

2. (deutlich schnellere) Möglichkeit:

Wir erinnern uns daran, dass
a mod m ≡ b mod m
wenn m ein Teiler von (a-b) bzw. (b-a) ist.

Somit müssen wir nur die Teiler von (88 - 61) = 27 bestimmen:

die gesuchten Zahlen sind somit:

3; 9; 27