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Summenregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $x^{5} + x^{3} + x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $x^{5} + x^{3} + x$

$f'(x) =$ $5 x^{4} + 3 x^{2} + 1$

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}} - 7 x$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{x^{2}} - 7 x$

= $3 x^{- 2} - 7 x$

=> f'(x) = $- 6 x^{- 3} - 7$

$f'(x) =$ $- \frac{6}{x^{3}} - 7$

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{5}{3} \sqrt{x} - 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{5}{3} \sqrt{x} - 3$

= $\frac{5}{3} x^{\frac{1}{2}} - 3$

=> f'(x) = $\frac{5}{6} x^{- \frac{1}{2}} + 0$

$f'(x) =$ $\frac{5}{6 \sqrt{x}} + 0$

= $\frac{5}{6 \sqrt{x}}$

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} - 7 x$ parallel zur Geraden y = $- 3 x - 3$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- 3 x - 3$ hat als Steigung m = -3 und als y-Achsenabschnitt c = $- 3$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = -3 gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{3}{4} {(\sqrt[3]{x})}^{4} - 7 x$

= $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} - 7 x$

=> f'(x) = $x^{\frac{1}{3}} - 7$

$f'(x) =$ $\sqrt[3]{x} - 7$

Diese Ableitung muss ja = -3 sein, also setzen wir $\sqrt[3]{x} - 7$ = -3.

$\sqrt[3]{x} - 7$	=	$- 3$	\| $+ 7$
$\sqrt[3]{x}$	=	$4$	\|(⋅)³ (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x$	=	$4^{3}$

x

64

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $64$

Linke Seite:

x = $64$ in $\sqrt[3]{x} - 7$

$=$ $\sqrt[3]{64} - 7$

= $4 - 7$

= $- 3$

Rechte Seite:

x = $64$ in $- 3$

$=$ $- 3$

Also -3 = -3

x = $64$ ist somit eine Lösung !

L={ $64$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $64$ ) = $\sqrt[3]{64} - 7$ = $- 3$

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Summenregel (einfach)

Ableiten mit x im Nenner (ohne sin)

Ableiten mit Wurzeln (ohne sin)

Stelle mit f'(x)=c finden (Bruch im Exp.)

Probe für x = 64

Probe für x = $64$