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negative Hochzahlen umwandeln

Beispiel:

Schreibe die Potenz so um, dass keine keine negative Zahl mehr in der Hochzahl ist: $- 3 x^{- 2}$

Lösung einblenden

$x^{- 2}$ ist ja nur eine andere Schreibweise für $\frac{1}{x^{2}}$ .

Also ist $- 3 x^{- 2}$ das gleiche wie $- 3 \cdot \frac{1}{x^{2}}$ = $- \frac{3}{x^{2}}$ .

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

Beispiel:

Schreibe um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen: ${(\sqrt[9]{x})}^{7}$

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: ${(\sqrt[9]{x})}^{7}$ = ${(x^{\frac{1}{9}})}^{7}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${(x^{\frac{1}{9}})}^{7}$ = x^{$\frac{1}{9}$ ⋅7} = $x^{\frac{7}{9}}$

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

Beispiel:

Schreibe $\frac{1}{{(\sqrt[9]{x})}^{7}}$ um in eine Potenz ohne Wurzelzeichen und ohne einen Nenner mit x.

Lösung einblenden

Eine 9-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{9}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{{(\sqrt[9]{x})}^{7}}$ = $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{9}})}^{7}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{(x^{\frac{1}{9}})}^{7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{9} \cdot 7}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{7}{9}}}$ = $x^{- \frac{7}{9}}$

rationale Potenzen (im Kopf)

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $9^{\frac{1}{2}}$

Lösung einblenden

$9^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Potenzen ohne WTR

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{2^{16}}{2^{11}}$

Lösung einblenden

$\frac{2^{16}}{2^{11}}$

= $2^{16 - 11}$

= $2^{5}$

= 32

Potenzen von Dezimalzahlen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${0,001}^{\frac{2}{3}}$

Lösung einblenden

${0,001}^{\frac{2}{3}}$

= ${(\sqrt[3]{0,001})}^{2}$

= ${0,1}^{2}$

= $0,01$

Potenzgesetze rationale Exp.

Beispiel:

Berechne ohne WTR: ${(10^{- 30})}^{- \frac{1}{5}}$

Am Ende muss also eine (potenzfreie) Zahl stehen.

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${(10^{- 30})}^{- \frac{1}{5}}$

= $10^{- 30 \cdot (- \frac{1}{5})}$

= $10^{6}$

= $1 000 000$

rationale Hochzahlen vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[9]{x})}^{3} \cdot \sqrt[6]{x^{8}}$

= $x^{\frac{3}{9}}$ ⋅ $x^{\frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{3}{9} + \frac{8}{6}}$

= $x^{\frac{6}{18} + \frac{24}{18}}$

= $x^{\frac{30}{18}}$

= $x^{\frac{5}{3}}$

rationale Potenzen verrechnen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: ${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{8}$

Dabei darf im Ergebnis nur noch eine Hochzahl stehen!

Lösung einblenden

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[12]{x^{6}} \cdot \sqrt[8]{x^{10}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{6}{12}} \cdot x^{\frac{10}{8}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{1}{2} + \frac{5}{4}})}^{8}$

= ${(x^{\frac{7}{4}})}^{8}$

= $x^{\frac{7}{4} \cdot 8}$

= $x^{14}$

Doppelbruchterm vereinfachen

Beispiel:

Vereinfache den folgenden Term: $\frac{13 a^{- 2}}{10 a^{- 3}}$

Lösung einblenden

$\frac{13 a^{- 2}}{10 a^{- 3}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{13}{a^{2}}}{\frac{10}{a^{3}}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{13}{a^{2}} \cdot \frac{a^{3}}{10}$

= $\frac{13}{10} a$

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

negative Hochzahlen umwandeln

n-te Wurzel - rationale Hochzahl

rationale (+ neg.) Hochzahl umwandeln

rationale Potenzen (im Kopf)

Potenzen ohne WTR

Potenzen von Dezimalzahlen

Potenzgesetze rationale Exp.

rationale Hochzahlen vereinfachen

rationale Potenzen verrechnen

Doppelbruchterm vereinfachen