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Zylinder V und O

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Durchmesser 43 mm und die Höhe h = 8 mm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.

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Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = 43 2 mm = 21.5mm

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 21.52 mm² ≈ 1452,2 mm²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 1452.2 mm² mit der Höhe h = 8 mm multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 1452.2 mm² ⋅ 8 mm ≈ 11617,61 mm³

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 8 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅21.5 mm ≈ 135.09 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 1452.2 mm² + 8 mm ⋅ 2π ⋅ 21.5 mm
≈ 2904.4 mm² + 8 mm ⋅ 135.09 mm
≈ 2904.4 mm² + 1080.71 mm²
≈ 3985,11 mm²

Zylinder rückwärts (einfach)

Beispiel:

Ein Zylinder hat das Volumen V = 2940.5 mm³ = und die Höhe h = 6.5 mm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.

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Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.

Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also

π ⋅ r2 ⋅ h = V

alle gegebenen Größen eingesetzt:

π · r 2 · 6,5 = 2940.5

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:

20,423 r 2 = 2940,5

20,423 r 2 = 2940,5 |:20,423
r 2 = 143,97983 | ⋅2
r1 = - 143,97983 ≈ -11,999
r2 = 143,97983 ≈ 11,999

Wir erhalten also r = 12 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 122 mm² ≈ 452,39 mm²

Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 6.5 mm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅12 mm ≈ 75.4 mm

Somit gilt für die Oberfläche:

O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 452.39 mm² + 6.5 mm ⋅ 2π ⋅ 12 mm
≈ 904.78 mm² + 6.5 mm ⋅ 75.4 mm
≈ 904.78 mm² + 490.09 mm²
≈ 1394,87 mm²

Zylinder rückw. (alle Möglichk.)

Beispiel:

Ein Zylinder hat den Oberflächeninhalt O = 12271.1 m² = und den Radius r = 42 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.

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Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Oberflächeninhalt O.

Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Oberflächeninhalt O auf und setzen alle gegebenen Größen ein.

O = 2G + M = 2π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h, also

2 ⋅ π ⋅ r2 + 2π ⋅ r ⋅ h = O

alle gegebenen Größen eingesetzt:

2⋅π · 42 2 + 2⋅π · 42 · h = 12271.1

Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:

263,886h +11083,212 = 12271,1

263,886h +11083,212 = 12271,1 | -11083,212
263,886h = 1187,888 |:263,886
h = 4,5015

Wir erhalten also h = 4.5 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.

Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2

G = π ⋅ 422 m² ≈ 5541,77 m²

Für das Volumen müssen wir nun noch G = 5541.77 m² mit der Höhe h = 4.5 m multiplizieren:

V = G ⋅ h ≈ 5541.77 m² ⋅ 4.5 m ≈ 24937,96 m³

Zylinder Anwendungen

Beispiel:

Eine Firma stellt Kanalelemente aus Beton her. Diese haben die Form eines hohlen Zylinders und sind immer 4m lang. Die Querschnittsfläche des Kanals beträgt 2,164m² und wird von einer 17 cm dicken Betonwand ummantelt. Wie schwer wird das Kanalelement, wenn 1m³ Beton 2000 kg wiegt?

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Zuerst versuchen wir den Radius aus dem gegebenen Flächeninhalt der inneren Querschnittsfläche Ain = 2,164 zu berechen.

Ain = π rin2

2,164 m² = π rin2 | :π

0,689 m² = rin2

0,83 m ≈ rin

Der Radius des inneren Kreises ist also rin = 0,83 m.

Die Differenz der Radien (vom äußeren und inneren Kreis) beträgt 0,17 m, also beträgt der Radius des äußeren Kreises rout = 1 m.

Die gesamte Kreisfläche hat den Flächeninhalt Aout = π ⋅ r²
= π ⋅ 12 ≈ 3,142 m2

Da der innere Kreis ja den Flächeninhalt Ain = 2,164 m2 hat, gilt für den Flächeninhalt des (in der Skizze blau eingefärbten) Kreisrings
G = Aout - Ain = 3,142 m2 - 2,164 m2 = 0,978 m2

Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des Hohlzylinders h = 4 m:

V = 0,978 m2 ⋅ 4 m = 3,909 m3

Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 2000 kg/m3:

m = 3,909 m3 ⋅ 2000 kg/m3 = 7818 kg.