Mathebattle EduRandomtasks

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,8.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, mindestens 26 Treffer zu erzielen ?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
33	0.3343
34	0.2269
35	0.1457
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.8 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.8}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.8

Weil man ja aber $P_{0.8}^{n} (X \geq 26)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.8}^{n} (X \geq 26)$ = 1 - $P_{0.8}^{n} (X \leq 25)$ ≥ 0.8 |+ $P_{0.8}^{n} (X \leq 25)$ - 0.8

0.2 ≥ $P_{0.8}^{n} (X \leq 25)$ oder $P_{0.8}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.2

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 80% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{0.8}$ ≈ 33 Versuchen auch ungefähr 26 (≈0.8⋅33) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=33:
$P_{0.8}^{n} (X \leq 25)$ ≈ 0.3343 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.2 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.2 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=35 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.2 ist.

n muss also mindestens 35 sein, damit $P_{0.8}^{n} (X \leq 25)$ ≤ 0.2 oder eben $P_{0.8}^{n} (X \geq 26)$ ≥ 0.8 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Beispiel:

Wie oft muss man mit einem normalen Würfel mindestens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% 32 oder mehr 6er zu erzielen?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
193	0.4572
194	0.4445
195	0.432
196	0.4195
197	0.4072
198	0.395
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 32)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 32)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 32)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 31)$ ≥ 0.6 |+ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 31)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 31)$ oder $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 31)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{32}{\frac{1}{6}}$ ≈ 192 Versuchen auch ungefähr 32 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅192) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=192:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 31)$ ≈ 0.47 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=198 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 198 sein, damit $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 31)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \geq 32)$ ≥ 0.6 gilt.

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Beispiel:

Wie oft darf man mit einem normalen Würfel höchstens würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60% nicht mehr als 26 6er zu würfeln?

Lösung einblenden

n	P(X≤k)
...	...
152	0.6089
153	0.5948
154	0.5806
155	0.5664
156	0.5521
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der gewürfelten 6er an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und variablem n.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 26)$ ≥ 0.6

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden $\frac{1}{6}$ der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{26}{\frac{1}{6}}$ ≈ 156 Versuchen auch ungefähr 26 (≈ $\frac{1}{6}$ ⋅156) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=156:
$P_{\frac{1}{6}}^{n} (X \leq 26)$ ≈ 0.5521 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.6 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.6 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=152 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 60% ist.

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Beispiel:

Eine Firma, die Überraschungseier vertreibt, möchte als Werbegag manche Eier mit Superfiguren bestücken. Aus Angst vor Kundenbeschwerden sollen in einer 9er-Packung mit der mindestens 50% Wahrscheinlichkeit 1 oder mehr Superfiguren enthalten sein. Wenn in jedes n-te Ei eine Superfigur rein soll, wie groß darf dann n höchstens sein?

Lösung einblenden

p	P(X≥1)=1-P(X≤0)
...	...
$\frac{1}{2}$	0.998
$\frac{1}{3}$	0.974
$\frac{1}{4}$	0.9249
$\frac{1}{5}$	0.8658
$\frac{1}{6}$	0.8062
$\frac{1}{7}$	0.7503
$\frac{1}{8}$	0.6993
$\frac{1}{9}$	0.6536
$\frac{1}{10}$	0.6126
$\frac{1}{11}$	0.5759
$\frac{1}{12}$	0.543
$\frac{1}{13}$	0.5134
$\frac{1}{14}$	0.4867
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Eier mit einer Superfigur an. X ist binomialverteilt mit n=9 und unbekanntem Parameter p.

Es muss gelten: $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ = 1- $P_{p}^{9} (X \leq 0)$ = 0.5 (oder mehr)

Wir wissen, dass der Zähler bei unserer Einzelwahrscheinlichkeit p 1 sein muss, da es ja genau einen günstigen Fall gibt.

Wir müssen nun bei verschiedenen Nennern untersuchen, wie hoch die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P_{p}^{9} (X \geq 1)$ ('mindestens 1 Treffer bei 9 Versuchen') bei diesen Nennern wird (siehe Tabelle links)

Als Startwert wählen wir als p= $\frac{1}{2}$ .

In dieser Tabelle erkennen wir, dass letztmals bei der Einzelwahrscheinlichkeit p= $\frac{1}{13}$ die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 50% bleibt.
Der Nenner, also die das wievielte Ei eine Superfigur enthält, darf also höchstens 13 sein.

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,2. Das Zufallsexperiment soll 55 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 55 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 55% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
5	0.0245
6	0.0576
7	0.1156
8	0.2025
9	0.3159
10	0.4463
11	0.5798
12	0.7021
13	0.8032
14	0.879
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.2 und n = 55.

Es muss gelten: $P_{0.2}^{55} (X \leq k)$ < 0.55

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 10 immer noch weniger als 0.55 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.2}^{55} (X \leq 11)$ nimmt mit 57.98% einen Wert über 0.55 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.2}^{55} (X \leq k)$ < 0.55 ist somit k = 10.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 10 sein.

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Beispiel:

Bei einem Multiple-Choice-Test werden 30 Fragen gestellt. Bei jeder Frage gibt es 6 Antworten, von denen genau eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass man mit reinem Raten der richtigen Antworten durch Zufall trotzdem den Test besteht, soll unter 8% liegen. Wie viele Fragen müssen dann zum Bestehen des Tests mindestens richtig beantwortet werden?

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
3	0.2396
4	0.4243
5	0.6164
6	0.7765
7	0.8863
8	0.9494
9	0.9803
10	0.9933
11	0.998
12	0.9995
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der richtig geratenen Fragen an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = $\frac{1}{6}$ und n = 30.

Es muss gelten: $P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \geq k)$ < 0.08 (oranger Bereich)

oder andersrum ausgedrückt: $P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \leq k-1)$ ≥ 0.92 (blauer Bereich)

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 7 immer noch weniger als 0.92 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \leq 8)$ nimmt mit 94.94% einen Wert über 0.92 an.

Das kleinstmögliche k mit $P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \geq k)$ = 1 - $P_{\frac{1}{6}}^{30} (X \leq k-1)$ < 0.08 ist somit k = 9.

Die Mindestanzahl richtiger Fragen zum Bestehen des Tests muss somit k = 9 sein.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,75. Das Zufallsexperiment soll 94 mal wiederholt werden. Dabei soll die Wahrscheinlichkeit, dass von den 94 Versuchen höchstens k Treffer sind, weniger als 75% betragen. Bestimme den größtmöglichen Wert für k.

Lösung einblenden

k	P(X≤k)
...	...
67	0.2345
68	0.3116
69	0.3987
70	0.492
71	0.5867
72	0.6774
73	0.7594
74	0.8293
75	0.8851
76	0.927
...	...

Die Zufallsgröße X gibt Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.75 und n = 94.

Es muss gelten: $P_{0.75}^{94} (X \leq k)$ < 0.75

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von k probieren, bis diese Gleichung erstmals nicht mehr erfüllt wird:

Dabei kann man entweder einfach viele verschiedene Werte einzeln berechnen oder man verwendet Listen bei der Binomialverteilung im WTR, (TI: binomcdf, Casio: Kumul. Binomial-V).

Schaut man dazu die kumulierte Binomialverteilung in der Tabelle links an, so erkennt man, dass die Trefferzahlen im Intervall zwischen 0 und 72 immer noch weniger als 0.75 der Gesamt-Wahrscheinlichkeit auf sich vereinen. Erst $P_{0.75}^{94} (X \leq 73)$ nimmt mit 75.94% einen Wert über 0.75 an.

Das größtmögliche k mit $P_{0.75}^{94} (X \leq k)$ < 0.75 ist somit k = 72.

größtmöglicher Wert für k muss somit k = 72 sein.

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

Die Höhen der Säulen entsprechen der Wahrscheinlichkeit für genau X=k Treffer
(also keine kumulierte Wahrscheinlichkeit wie links in der Tabelle)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Binomialvert. mit variablem n (mind)

Binomialvert. mit variablem n (höchst.)

Binomialvert. mit variablem p (diskret) für WTR

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)

Binomialvert. mit variablem k (mind.)

Binomialvert. mit variablem k (höchst.)