Das Bewegungsobjekt legt in 2s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{2}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-40\\ -40\\ 20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-50\\ -20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 9 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-50\\ -20\\ 10\end{array}\right)+9\cdot \left(\begin{array}{c}-20\\ -20\\ 10\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-230\\ -200\\ 100\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-230|-200|100\right)$.

Das Bewegungsobjekt legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}-210\\ 120\\ 120\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ 20\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 10 min befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ 20\\ 10\end{array}\right)+10\cdot \left(\begin{array}{c}-70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-660\\ 420\\ 410\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(-660|420|410\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(40|20|10\right)$ nach P$\left(-660|420|410\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}-700\\ 400\\ 400\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{\mathrm{(-700)}}^2+{400}^2+{400}^2}=\sqrt{810000}=900$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}400\\ 400\\ 200\end{array}\right)$ zurück. Dieser Vektor hat die Länge =$\sqrt{{400}^2+{400}^2+{200}^2}=\sqrt{360000}=600$.
Die Geschwindigkeit ist also v=600$\frac{m}{s}$ = 2160$\frac{\mathrm{km}}{h}$

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-30\\ 50\\ 40\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ -60\\ 60\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

In 1s steigt (bzw. sinkt) das Bewegungsobjekt um 60m (Änderung in der x₃-Koordinate). Um von 40 auf 580m (also 540m) zu steigen (bzw. fallen), muss es also $\frac{\mathrm{540}}{\mathrm{60}}$s = 9s lang steigen (bzw. sinken).

Zuerst rechnen wir die Geschwindigkeit von km/h in $\frac{m}{s}$ um: v= $\frac{\mathrm{21600\; m}}{\mathrm{3600\; s}}$ = 6$\frac{m}{s}$.
Die Länge des Vektors $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-4\\ -4\\ -2\end{array}\right)$ ist $\sqrt{{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-4)}}^2+{\mathrm{(-2)}}^2}=\sqrt{36}=6$ m.
Bei einer Geschwindigkeit von 6$\frac{m}{s}$. braucht er für diese Strecke $\frac{6}{6}$s = 1s.
Punkt B wird als nach 1s erreicht.

Das Bewegungsobjekt legt in 1 min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ -6\end{array}\right)$ zurück.
Die Geradengleichung $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt also den Ortsvektor zu dem Punkt, an dem sich das Bewegungsobjekt nach t min befindet.
Dieser Richtungsvektor (der in 1 min zurückgelegt wird) hat die Länge =$\sqrt{{18}^2+{\mathrm{(-27)}}^2+{\mathrm{(-6)}}^2}=\sqrt{1089}=33$.
Die Geschwindigkeit ist also v=33$\frac{m}{\min }$
Für die Strecke von 2.64 km braucht es also $\frac{\mathrm{2640}}{\mathrm{33}}$min = 80min
Nach dieser Zeit befindet es sich dann im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-6\\ -3\\ 0\end{array}\right)+80\cdot \left(\begin{array}{c}18\\ -27\\ -6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}1434\\ -2163\\ -480\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(1434|-2163|-480\right)$.

Die Höhe in diesem Punkt ist einfach die x₃-Koordinate, also -480 (in m).

F2 legt in 5min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}60\\ -50\\ -20\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{5}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}60\\ -50\\ -20\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-14\\ 22\\ 8\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

F1 ist nach 2min an der Stelle P₁ $\left(\begin{array}{c}6\\ -2\\ -2\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}11\\ -10\\ -2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}28\\ -22\\ -6\end{array}\right)$; F2 an der Stelle P₂ $\left(\begin{array}{c}-14\\ 22\\ 8\end{array}\right)+2\cdot \left(\begin{array}{c}12\\ -10\\ -4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}10\\ 2\\ 0\end{array}\right)$.

Der Abstand ist also ca. 30.59 km.

Das Flugzeug F2 legt in 3min den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ 0.6\end{array}\right)$ zurück.
In 1min legt es also den Vektor $\frac{1}{3}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}9\\ 18\\ 0.6\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-62\\ -27\\ 0.6\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}3\\ 6\\ 0.2\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Um den Zeitpunkt zu finden, wann beide die gleiche Höhe haben, muss einfach ein t gefunden werden, bei dem die x₃-Koordinate bei beiden Gleichungen gleich groß ist, also:

nach 3 min sind also beide auf gleicher Höhe: $\mathrm{0,1}\cdot 3+\mathrm{0,9}$ = 1.2 = $\mathrm{0,2}\cdot 3+\mathrm{0,6}$

Der Heißluftballon F2 legt in 1h den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ zurück. Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g2 mit g2: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-24\\ 28\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann.

Den scheinbaren Schnittpunkt der beiden Bewegungsbahnen, den man von direkt darüber oder direkt darunter sehen könnte, berechnet man indem man die x₁- und x₂-Koordinaten der beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

$\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 1.6\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 28\\ 0\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ da ja aber nur die x₁- und x₂-Koordinaten gleich sein müssen ergibt sich folgendes LGS:

Das heißt also, dass der Heißluftballon F1 nach 8h und der Heißluftballon F2 nach 8h an diesem 'x₁-x₂-Schnittpunkt' ist.

der Heißluftballon F1 ist also nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}0\\ -4\\ 1.6\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ -1\\ 0.2\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-48\\ -12\\ 3.2\end{array}\right)$, während der Heißluftballon F2 nach 8h bei $\left(\begin{array}{c}-24\\ 28\\ 0\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}-3\\ -5\\ 0.4\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-48\\ -12\\ 3.2\end{array}\right)$ ist.

Sie haben dort also die selben x₁- und x₂-Koordinaten, in der Höhe (x₃-Koordinate) haben sie jedoch einen Unterschied von

3.2 - 3.2 = 0 km

Das Bewegungsobjekt legt in 4s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}1600\\ -1600\\ 800\end{array}\right)$ zurück.
In 1s legt es also den Vektor $\frac{1}{4}$ ⋅ $\left(\begin{array}{c}1600\\ -1600\\ 800\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}-150\\ 50\\ 50\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 8 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}-150\\ 50\\ 50\end{array}\right)+8\cdot \left(\begin{array}{c}400\\ -400\\ 200\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}3050\\ -3150\\ 1650\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(3050|-3150|1650\right)$.

Das Bewegungsobjekt hat sich dann von A$\left(-150|50|50\right)$ nach P$\left(3050|-3150|1650\right)$ bewegt, also um den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$=$\left(\begin{array}{c}3200\\ -3200\\ 1600\end{array}\right)$. Dessen Länge ist $\sqrt{{3200}^2+{\mathrm{(-3200)}}^2+{1600}^2}=\sqrt{23040000}=4800$m.

Das Bewegungsobjekt legt in 1s den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$=$\left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ zurück.

Die Flugbahn/Bewegungsbahn kann als Gerade g mit g: $\overrightarrow{x}=$ $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ dargestellt werden, wobei der Parameter t dabei einfach als Zeit betrachtet werden kann. Nach 6 s befindet es sich also im Punkt mit dem Ortsvektor
$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ = $\left(\begin{array}{c}40\\ -40\\ 10\end{array}\right)+6\cdot \left(\begin{array}{c}70\\ 40\\ 40\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}460\\ 200\\ 250\end{array}\right)$, also im Punkt P$\left(460|200|250\right)$.