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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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Funktionswerte vw und rw

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x +1 . Berechne alle x-Werte für die f(x) = 5 gilt.


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Es gilt f(x) = 5.

Also müssen wir x +1 = 5 nach x auflösen:.

x +1 = 5 |(⋅)2 (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
x +1 = 5 2
x +1 = 25 | -1
x = 24

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = 24

Linke Seite:

x = 24 in x +1

= 24 +1

= 25

= 5

Rechte Seite:

x = 24 in 5

= 5

Also 5 = 5

x = 24 ist somit eine Lösung !

Definitions- und Wertemenge

Beispiel:

Bestimme die maximale Definitionsmenge und die Wertemenge der Funktion f mit f(x) = -2x -4 .

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Definitionsmenge

Wir schauen zuerst, wann die -2x -4 unter der Wurzel = 0 wird:

-2x -4 = 0 | +4
-2x = 4 |:(-2 )
x = -2

Wegen des negativen Vorzeichens von -2x darf man aber außer -2 nur kleinere Werte als -2 für x einsetzen.

Die Definitionsmenge ist somit D = {x ∈ ℝ | x ≤ -2}.

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Wertemenge

  • -2x -4 kann ja für x ≤ -2 alle positiven Werte und die 0 annehmen.
  • Also kann auch -2x -4 für x ≤ -2 alle positiven Werte und die 0 annehmen

Die Wertemenge ist somit W = {y ∈ ℝ | y ≥ 0}.

Funktionsterm finden

Beispiel:

Ein zylinderförmige Getränkedose soll aus Designgründen so gebaut werde, dass die Höhe der Dose 3,5 mal so groß ist wie der Durchmesser der Grund- und Deckelfläche.Bestimme dazu einen Funktionsterm, der dem Radius der Grundfläche r das Volumen der Getränkedose V zuordnet.

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Der gesuchte Term lautet also: V(r) = π · r 2 · 7r = 7π · r 3 = 7π r 3