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Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 29 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
170	0.8068
171	0.7975
172	0.788
173	0.7784
174	0.7685
175	0.7584
176	0.7481
177	0.7376
178	0.727
179	0.7162
180	0.7052
181	0.6941
182	0.6829
183	0.6715
184	0.66
185	0.6484
186	0.6367
187	0.625
188	0.6132
189	0.6013
190	0.5893
191	0.5774
192	0.5654
193	0.5533
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \leq 29)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{29}{0.15}$ ≈ 193 Versuchen auch ungefähr 29 (≈0.15⋅193) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=193:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 29)$ ≈ 0.5533 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=170 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,6.Wie oft muss man das Zufallsexperiment mindestens wiederholen (oder wie groß muss die Stichprobe sein), um mit mind. 60% Wahrscheinlichkeit, mindestens 21 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
35	0.4272
36	0.3507
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.6 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.6}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.6

Weil man ja aber $P_{0.6}^{n} (X \geq 21)$ nicht in den WTR eingeben kann, müssen wir diese Wahrscheinlichkeit über die Gegenwahrscheinlichkeit berechnen:

$P_{0.6}^{n} (X \geq 21)$ = 1 - $P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ ≥ 0.6 |+ $P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ - 0.6

0.4 ≥ $P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ oder $P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.4

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 60% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{21}{0.6}$ ≈ 35 Versuchen auch ungefähr 21 (≈0.6⋅35) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=35:
$P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ ≈ 0.4272 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.4 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.4 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass erstmals bei n=36 die gesuchte Wahrscheinlichkeit unter 0.4 ist.

n muss also mindestens 36 sein, damit $P_{0.6}^{n} (X \leq 20)$ ≤ 0.4 oder eben $P_{0.6}^{n} (X \geq 21)$ ≥ 0.6 gilt.

Binomialvert. mit vari. n (höchst.) (ohne Anwend.)

Beispiel:

Bei einem Zufallsexperiment beträgt die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer p=0,15.Wie oft darf man das Zufallsexperiment höchstens wiederholen (oder wie groß darf die Stichprobe sein), um mit mind. 80% Wahrscheinlichkeit, höchstens 39 Treffer zu erzielen ?

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n	P(X≤k)
...	...
233	0.8
234	0.792
235	0.7838
236	0.7754
237	0.767
238	0.7583
239	0.7495
240	0.7406
241	0.7316
242	0.7224
243	0.7131
244	0.7037
245	0.6942
246	0.6845
247	0.6748
248	0.665
249	0.6551
250	0.6451
251	0.6351
252	0.625
253	0.6148
254	0.6046
255	0.5943
256	0.584
257	0.5737
258	0.5633
259	0.553
260	0.5426
...	...

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an und ist im Idealfall binomialverteilt mit p = 0.15 und variablem n.

Es muss gelten: $P_{0.15}^{n} (X \leq 39)$ ≥ 0.8

Jetzt müssen wir eben so lange mit verschiedenen Werten von n probieren, bis diese Gleichung erstmals erfüllt wird:

Dabei stellt sich nun natürlich die Frage, mit welchem Wert für n wir dabei beginnen. Im Normalfall enden 15% der Versuche mit einem Treffer. Also müssten dann doch bei $\frac{39}{0.15}$ ≈ 260 Versuchen auch ungefähr 39 (≈0.15⋅260) Treffer auftreten.

Wir berechnen also mit unserem ersten n=260:
$P_{0.15}^{n} (X \leq 39)$ ≈ 0.5426 (TI-Befehl: Binomialcdf ...)

Je nachdem, wie weit nun dieser Wert noch von den gesuchten 0.8 entfernt ist, erhöhen bzw. verkleinern wir das n eben in größeren oder kleineren Schrittweiten.

Dies wiederholen wir solange, bis wir zwei aufeinanderfolgende Werte von n gefunden haben, bei denen die 0.8 überschritten wird.

Aus der Werte-Tabelle (siehe links) erkennt man dann, dass letztmals bei n=233 die gesuchte Wahrscheinlichkeit über 80% ist.

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Binomialvert. mit vari. n (mind) (ohne Anwend.)

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