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einfache Wurzelgleichung

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{x + 8}$ = $2$

$\sqrt{x + 8}$	=	$2$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 8$	=	$2^{2}$

$x + 8$	=	$4$	\| $- 8$
$x$	=	$- 4$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 4$

Linke Seite:

x = $- 4$ in $\sqrt{x + 8}$

$=$ $\sqrt{- 4 + 8}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $- 4$ in $2$

$=$ $2$

Also 2 = 2

x = $- 4$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 4$ }

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{- 2 x + 3}$ = $x$

Lösung einblenden

$\sqrt{- 2 x + 3}$	=	$x$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$- 2 x + 3$	=	${(x)}^{2}$

- 2 x + 3

=

x^{2}

|

- x^{2}

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{4 + 12}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 2 \pm \sqrt{16}}{- 2}$

x₁ = $\frac{2 + \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2+4}{- 2}$ = $\frac{6}{- 2}$ = $- 3$

x₂ = $\frac{2 - \sqrt{16}}{- 2}$ = $\frac{2-4}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} - 2 x + 3$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} + 2 x - 3$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - (- 3)$ = $1$ $+$ $3$ = $4$

x_1,2 = $- 1$ ± $\sqrt{4}$

x₁ = $- 1$ - $2$ = -3

x₂ = $- 1$ + $2$ = 1

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 3$

Linke Seite:

x = $- 3$ in $\sqrt{- 2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot (- 3) + 3}$

= $\sqrt{6 + 3}$

= $\sqrt{9}$

= $3$

Rechte Seite:

x = $- 3$ in $x$

$=$ $- 3$

Also 3 ≠ -3

x = $- 3$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{- 2 x + 3}$

$=$ $\sqrt{- 2 \cdot 1 + 3}$

= $\sqrt{- 2 + 3}$

= $\sqrt{1}$

= $1$

Rechte Seite:

x = $1$ in $x$

$=$ $1$

Also 1 = 1

x = $1$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ }

Wurzelgleichung (rechts linear)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{24 x + 1} - 2 x$ = $3$

Lösung einblenden

$\sqrt{24 x + 1} - 2 x$	=	$3$	\| $+ 2 x$
$\sqrt{24 x + 1}$	=	$2 x + 3$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$24 x + 1$	=	${(2 x + 3)}^{2}$

24 x + 1

=

4 x^{2} + 12 x + 9

|

- 4 x^{2}

- 12 x

- 9

- 4 x^{2} + 12 x - 8

= 0 |:4

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 2)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 3 \pm \sqrt{1}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 3 + \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3+1}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 3 - \sqrt{1}}{- 2}$ = $\frac{- 3-1}{- 2}$ = $\frac{- 4}{- 2}$ = $2$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 3 x - 2$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{24 x + 1} - 2 x$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 1 + 1} - 2 \cdot 1$

= $\sqrt{24 + 1} - 2$

= $\sqrt{25} - 2$

= $5 - 2$

= $3$

Rechte Seite:

x = $1$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $1$ ist somit eine Lösung !

Probe für x = $2$

Linke Seite:

x = $2$ in $\sqrt{24 x + 1} - 2 x$

$=$ $\sqrt{24 \cdot 2 + 1} - 2 \cdot 2$

= $\sqrt{48 + 1} - 4$

= $\sqrt{49} - 4$

= $7 - 4$

= $3$

Rechte Seite:

x = $2$ in $3$

$=$ $3$

Also 3 = 3

x = $2$ ist somit eine Lösung !

L={ $1$ ; $2$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{25 x + 106}$ = $3 \sqrt{3 x + 12}$

Lösung einblenden

$\sqrt{25 x + 106}$	=	$3 \sqrt{3 x + 12}$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$25 x + 106$	=	${(3 \sqrt{3 x + 12})}^{2}$

$25 x + 106$	=	$9 (3 x + 12)$
$25 x + 106$	=	$27 x + 108$	\| $- 106$
$25 x$	=	$27 x + 2$	\| $- 27 x$
$- 2 x$	=	$2$	\|:( $- 2$ )
$x$	=	$- 1$

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $- 1$

Linke Seite:

x = $- 1$ in $\sqrt{25 x + 106}$

$=$ $\sqrt{25 \cdot (- 1) + 106}$

= $\sqrt{- 25 + 106}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

Rechte Seite:

x = $- 1$ in $3 \sqrt{3 x + 12}$

$=$ $3 \sqrt{3 \cdot (- 1) + 12}$

= $3 \sqrt{- 3 + 12}$

= $3 \sqrt{9}$

= $9$

Also 9 = 9

x = $- 1$ ist somit eine Lösung !

L={ $- 1$ }

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$\sqrt{3 x + 1}$ = $\sqrt{x + 8} + 1$

Lösung einblenden

$\sqrt{3 x + 1}$	=	$\sqrt{x + 8} + 1$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$3 x + 1$	=	${(\sqrt{x + 8} + 1)}^{2}$

$3 x + 1$	=	$2 \sqrt{x + 8} + x + 9$	\| $- 3 x$ $- 1$ $- 2 \sqrt{x + 8}$
$- 2 \sqrt{x + 8}$	=	$- 2 x + 8$	\|:( $- 2$ )
$\sqrt{x + 8}$	=	$x - 4$	\|(⋅)² (Vorsicht: evtl. Vergrößerung der Lösungsmenge)
$x + 8$	=	${(x - 4)}^{2}$

x + 8

=

x^{2} - 8 x + 16

|

- x^{2}

+ 8 x

- 16

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot (- 8)}}{2 \cdot (- 1)}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 32}}{- 2}$

x_1,2 = $\frac{- 9 \pm \sqrt{49}}{- 2}$

x₁ = $\frac{- 9 + \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9+7}{- 2}$ = $\frac{- 2}{- 2}$ = $1$

x₂ = $\frac{- 9 - \sqrt{49}}{- 2}$ = $\frac{- 9-7}{- 2}$ = $\frac{- 16}{- 2}$ = $8$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $- 1$ " teilen:

$- x^{2} + 9 x - 8$ = 0 |: $- 1$

$x^{2} - 9 x + 8$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{9}{2})}^{2} - 8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $8$ = $\frac{81}{4}$ $-$ $\frac{32}{4}$ = $\frac{49}{4}$

x_1,2 = $\frac{9}{2}$ ± $\sqrt{\frac{49}{4}}$

x₁ = $\frac{9}{2}$ - $\frac{7}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{9}{2}$ + $\frac{7}{2}$ = $\frac{16}{2}$ = 8

Beim Quadrieren oben haben wir eventuel die Lösungesmenge vergrößert.
Deswegen müssen wir jetzt bei allen Lösungen eine Probe machen, ob sie auch wirklich Lösungen sind.

Probe für x = $1$

Linke Seite:

x = $1$ in $\sqrt{3 x + 1}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 1 + 1}$

= $\sqrt{3 + 1}$

= $\sqrt{4}$

= $2$

Rechte Seite:

x = $1$ in $\sqrt{x + 8} + 1$

$=$ $\sqrt{1 + 8} + 1$

= $\sqrt{9} + 1$

= $3 + 1$

= $4$

Also 2 ≠ 4

x = $1$ ist somit keine Lösung !

Probe für x = $8$

Linke Seite:

x = $8$ in $\sqrt{3 x + 1}$

$=$ $\sqrt{3 \cdot 8 + 1}$

= $\sqrt{24 + 1}$

= $\sqrt{25}$

= $5$

Rechte Seite:

x = $8$ in $\sqrt{x + 8} + 1$

$=$ $\sqrt{8 + 8} + 1$

= $\sqrt{16} + 1$

= $4 + 1$

= $5$

Also 5 = 5

x = $8$ ist somit eine Lösung !

L={ $8$ }

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

einfache Wurzelgleichung

Probe für x = -4

Wurzelgleichung (-> quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = -3

Probe für x = 1

Wurzelgleichung (rechts linear)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 2

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 1x quadr.)

Probe für x = -1

Wurzelgleichung (2 Wurzeln, 2x quadr.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Probe für x = 1

Probe für x = 8

Probe für x = $- 4$

Probe für x = $- 3$

Probe für x = $1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $2$

Probe für x = $- 1$

Probe für x = $1$

Probe für x = $8$