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Faktorregel (einfach)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $3 x^{7}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 x^{7}$

$f'(x) =$ $21 x^{6}$

Faktorregel (mit neg. Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{5}}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $\frac{3}{2 x^{5}}$

= $\frac{3}{2} x^{- 5}$

=> f'(x) = $- \frac{15}{2} x^{- 6}$

$f'(x) =$ $- \frac{15}{2 x^{6}}$

Faktorregel (mit Bruch-Exponent)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f(x) =$ $5 \sqrt[8]{x}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $5 \sqrt[8]{x}$

= $5 x^{\frac{1}{8}}$

=> f'(x) = $\frac{5}{8} x^{- \frac{7}{8}}$

$f'(x) =$ $\frac{5}{8 {(\sqrt[8]{x})}^{7}}$

Ableiten an einem Punkt (x im Nenner)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $- \frac{1}{x^{4}}$ im Punkt P(-1|f(-1)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- \frac{1}{x^{4}}$

= $- x^{- 4}$

=> f'(x) = $4 x^{- 5}$

=> $f'(x) =$ $\frac{4}{x^{5}}$

f'(-1) = $\frac{4}{{(- 1)}^{5}}$ = $4 \cdot (- 1)$ = $- 4$

Ableiten an einem Punkt (Bruch im Expo)

Beispiel:

Berechne die Tangentensteigung des Graphen von f mit $f(x) =$ $7 \sqrt{x}$ im Punkt P(16|f(16)):

Lösung einblenden

$f(x) =$ $7 \sqrt{x}$

= $7 x^{\frac{1}{2}}$

=> f'(x) = $\frac{7}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

=> $f'(x) =$ $\frac{7}{2 \sqrt{x}}$

f'(16) = $\frac{7}{2 \cdot \sqrt{16}}$ = $\frac{7}{2 \cdot 4}$ = $\frac{7}{8}$ ≈ 0.88

Stelle mit f'(x)=c finden (neg Exp.)

Beispiel:

Bestimme alle Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f mit $f(x) =$ $\frac{4}{x}$ parallel zur Geraden y = $- \frac{1}{4} x + 4$ ist.

Falls mehrere Lösungen existieren, diese bitte mit Semikolon (;) trennen.

Lösung einblenden

Die Gerade y = $- \frac{1}{4} x + 4$ hat als Steigung m = $- \frac{1}{4}$ und als y-Achsenabschnitt c = $4$ .

Wenn nun an einer Stelle x die Tangente an den Graph von f parallel zur gegebenen Geraden sein soll, müssen ihre Steigungen gleich sein. Es muss also f '(x) = m = $- \frac{1}{4}$ gelten.

Zuerst leiten wir mal f(x) ab:

$f(x) =$ $\frac{4}{x}$

= $4 x^{- 1}$

=> f'(x) = $- 4 x^{- 2}$

$f'(x) =$ $- \frac{4}{x^{2}}$

Diese Ableitung muss ja = $- \frac{1}{4}$ sein, also setzen wir $- \frac{4}{x^{2}}$ = $- \frac{1}{4}$ .

D=R\{0}

Wir multiplizieren den Nenner $x^{2}$ weg!

$- \frac{4}{x^{2}}$	=	$- \frac{1}{4}$	\|⋅( $x^{2}$ )
$- \frac{4}{x^{2}} \cdot x^{2}$	=	$- \frac{1}{4} \cdot x^{2}$
$- 4$	=	$- \frac{1}{4} x^{2}$

$- 4$	=	$- \frac{1}{4} x^{2}$	\| $+ 4$ $+ \frac{1}{4} x^{2}$
$\frac{1}{4} x^{2}$	=	$4$	\|⋅ $4$
$x^{2}$	=	$16$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
x₁	=	$- \sqrt{16}$	= $- 4$
x₂	=	$\sqrt{16}$	= $4$

(Alle Lösungen sind auch in der Definitionsmenge).

L={ $- 4$ ; $4$ }

Zur Probe, ob wir uns verrechnet haben, können wir die Lösung(en) jetzt in die Ableitung einsetzen:

f '( $- 4$ ) = $- \frac{4}{{(- 4)}^{2}}$ = $- \frac{1}{4}$

f '( $4$ ) = $- \frac{4}{4^{2}}$ = $- \frac{1}{4}$