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quadr. Ungleichungen (einfach)

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$(x + 4) \cdot (x + 1)$ > 0.

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $(x + 4) \cdot (x + 1)$ = 0 ist.

(x + 4) \cdot (x + 1)

=

0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$x + 4$	=	0	\| $- 4$
x₁	=	$- 4$

2. Fall:

$x + 1$	=	0	\| $- 1$
x₂	=	$- 1$

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $(x + 4) \cdot (x + 1)$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $(x + 4) \cdot (x + 1)$ = 0 (x₁ = -4 und x₂ = -1) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $(x + 4) \cdot (x + 1)$ > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -4: f(-5) = $(- 5 + 4) \cdot (- 5 + 1)$ = $4$ > 0
Für -4 < x < -1: f(-2) = $(- 2 + 4) \cdot (- 2 + 1)$ = $- 2$ < 0
Für x > -1: f(0) = $(0 + 4) \cdot (0 + 1)$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) > 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $(x + 4) \cdot (x + 1)$ = 0 nicht zur gesuchten Ungleichung $(x + 4) \cdot (x + 1)$ > 0 gehört, ist x₁=-4 und x₂=-1 nicht in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x < -4 oder x > -1.

quadratische Ungleichungen

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$x^{2} - x - 2$ ≥ 0.

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $x^{2} - x - 2$ = 0 ist.

$x^{2} - x - 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{9}}{2}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1+3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{9}}{2}$ = $\frac{1-3}{2}$ = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{2})}^{2} - (- 2)$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $2$ = $\frac{1}{4}$ $+$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{9}{4}$

x_1,2 = $\frac{1}{2}$ ± $\sqrt{\frac{9}{4}}$

x₁ = $\frac{1}{2}$ - $\frac{3}{2}$ = $- \frac{2}{2}$ = -1

x₂ = $\frac{1}{2}$ + $\frac{3}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

Wenn wir uns die zugehörige Parabel zu $f(x) =$ $x^{2} - x - 2$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $x^{2} - x - 2$ = 0 (x₁ = -1 und x₂ = 2) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse sind.

Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten die Ungleichung noch vollends zu lösen:

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 1 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also dass der Scheitel der tiefste Punkt der Parabel ist.
Somit muss der gesuchte Bereich, in dem $x^{2} - x - 2$ ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

2.Weg
Da es ja nur diese beiden Schnittpunkte mit der x-Achse gibt, müssen die Funktionswerte innerhalb eines dieser drei Intervalle immer das gleiche Vorzeichen haben. Deswegen reicht es einen Vertreter davon zu untersuchen:
Für x < -1: f(-2) = ${(- 2)}^{2} - (- 2) - 2$ = $4$ > 0
Für -1 < x < 2: f(0) = $0^{2} - 0 - 2$ = $- 2$ < 0
Für x > 2: f(3) = $3^{2} - 3 - 2$ = $4$ > 0
Also muss der gesuchte Bereich in dem f(x) ≥ 0 ist, links und rechts der Schnittpunkte mit der x-Achse liegen.

.

Da der Grenzfall $x^{2} - x - 2$ = 0 auch zur gesuchten Ungleichung $x^{2} - x - 2$ ≥ 0 gehört, ist x₁=-1 und x₂=2 auch in der Lösungmenge. Somit gilt für diese:

x ≤ -1 oder x ≥ 2.

quadratische Ungleichungen 2

Beispiel:

Löse die quadratische Ungleichung:

$2 x^{2} + 2 x + 3$ ≤ $- 2 x - 1$ .

Lösung einblenden

Zuerst betrachtet man den Grenzfall, nämlich dass $2 x^{2} + 2 x + 3$ = $- 2 x - 1$ ist.

2 x^{2} + 2 x + 3

=

- 2 x - 1

|

+ 2 x

+ 1

2 x^{2} + 4 x + 4

= 0 |:2

$x^{2} + 2 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{(- 4)}}{2}$

Da die Diskriminante (Zahl unter der Wurzel) negativ ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösung!

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 2$ = $1$ $-$ $2$ = $- 1$

Da die Diskriminante D < 0 ist, hat die quadratische Gleichung keine Lösunng.

Wenn wir uns die zugehörigen Graphen von $f(x) =$ $2 x^{2} + 2 x + 3$ und $g(x) =$ $- 2 x - 1$ ansehen,
erkennen wir, dass bei den Lösungen zu $2 x^{2} + 2 x + 3$ = $- 2 x - 1$ (hier: keine) ja gerade die Schnittpunkte der Parabel mit der Geraden sind.

Wir haben also bei dieser Parabel keinen gemeinsamen Punkt mit der Geraden y= $- 2 x - 1$ , es müssen also entweder alle Punkte der Parabel über der Geraden y= $- 2 x - 1$ oder alle unter der Geraden y= $- 2 x - 1$ liegen!

1.Weg
An dem Koeffizienten vor dem x²: a = 2 > 0 erkennen wir, dass die Parabel nach oben geöffnet ist, also müssen alle Punkte der Parabel oberhalb der Geraden y= $- 2 x - 1$ liegen.
Die Ungleichung $2 x^{2} + 2 x + 3$ ≤ $- 2 x - 1$ gilt somit für kein x.

2.Weg
Da es ja keinen Schnittpunkt mit der Geraden y= $- 2 x - 1$ gibt, müssen alle Funktionswerte von $f(x) =$ $2 x^{2} + 2 x + 3$ immer oberhalb oder immer unterhalb der Funktionswerte von g(x) liegen. Deswegen reicht es einen Vertreter davon, am einfachsten mit x=0, zu untersuchen:
f(0) = $2 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 + 3$ = $3$ > $- 1$ = $- 2 \cdot 0 - 1$ = g(0)
Dies gilt (wegen der fehlenden Schnittpunkte) auch für alle anderen Funktionswerte und die Ungleichung $2 x^{2} + 2 x + 3$ ≤ $- 2 x - 1$ gilt für kein x.

Die Lösung ist also: {} (kein x erfüllt die Ungleichung)

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

quadr. Ungleichungen (einfach)

quadratische Ungleichungen

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadratische Ungleichungen 2

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):