Mathebattle EduRandomtasks

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Browserfenster aktualisieren (F5), um neue Beispiele bei den Aufgabentypen zu sehen

nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn, BF)

Beispiel:

Gegeben ist eine Funktion f mit $f(x) =$ $3 x \cdot e^{- 3 x}$ mit ihrer Ableitungsfunktion $f '(x) =$ $3 \cdot 1 \cdot e^{- 3 x} + 3 x \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$ .

Gib alle x-Werte an, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.

Lösung einblenden

Die x-Werte, an denen der Graph von f eine waagrechte Tangente hat, sind ja einfach die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion.

Um f '(x)=0 lösen zu können, vereinfachen wir erst mal die Ableitungsfunktion f '

$f '(x) =$ $3 \cdot 1 \cdot e^{- 3 x} + 3 x \cdot e^{- 3 x} \cdot (- 3)$
= $3 e^{- 3 x} - 9 x \cdot e^{- 3 x}$

Jetzt müssen wir den Exponentialterm ausklammern

= $e^{- 3 x} \cdot (3 - 9 x)$
= $e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 3)$

Jetzt können f '(x)=0 mit Hilfe des Satzes vom Nullprodukt lösen:

$e^{- 3 x} \cdot (- 9 x + 3)$	=	0
$(- 9 x + 3) \cdot e^{- 3 x}$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

$- 9 x + 3$	=	0	\| $- 3$
$- 9 x$	=	$- 3$	\|:( $- 9$ )
x₁	=	$\frac{1}{3}$

2. Fall:

e^{- 3 x}

0

Diese Gleichung hat keine Lösung!

Als Lösungsmenge ergibt sich somit:

L={ $\frac{1}{3}$ }

nur f '(x)=0 lösen (e-Fktn)