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Ableiten mit Parameter

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $3 t^{2} x^{4} + 2 t^{2}$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $3 t^{2} x^{4} + 2 t^{2}$

$f'(x) =$ $12 t^{2} x^{3} + 0$

= $12 t^{2} x^{3}$

Ableiten mit Parameter (BF)

Beispiel:

Berechne die Ableitung von f mit $f_{t} (x) =$ $- 3 t^{2} x + 3$ und vereinfache:

Lösung einblenden

$f(x) =$ $- 3 t^{2} x + 3$

$f'(x) =$ $- 3 t^{2} + 0$

= $- 3 t^{2}$

gegeb. Tangentensteigung (BF)

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- e^{- t x - t} - 3 x$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $- 2 x - 2$ ?

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- e^{- t x - t} - 3 x$

$f'(x) =$ $- e^{- t x - t} \cdot (- t) - 3$

= $t e^{- t x - t} - 3$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ )= $t e^{- t \cdot (- 1) - t} - 3$ = $t - 3$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 2$ x-2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $t - 3$ soll gleich $- 2$ sein.

Dazu lösen wir die Gleichung $t - 3$ = $- 2$ nach t auf.

$t - 3$	=	$- 2$	\| $+ 3$
$t$	=	$1$

Für t= $1$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.

t-Wert bestimmen, dass f'(x0)=y0

Beispiel:

Für welche t ist die Tangente von f mit $f_{t} (x) =$ $- 2 t^{2} x$ im Punkt B( $- 1$ |f( $- 1$ )) parallel zur Gerade y= $- 18 x + 2$ ?
Gib alle Möglichkeiten für t an.

Lösung einblenden

Um die Tangentensteigung zu bestimmen, leiten wir die Funktion erst einmal ab:

$f(x) =$ $- 2 t^{2} x$

$f'(x) =$ $- 2 t^{2}$

In diese Ableitung setzen wir x= $- 1$ ein:

f'( $- 1$ ) = $- 2 t^{2}$ = $- 2 t^{2}$

Damit die Tangente parallel zur Geraden y= $- 18$ x+2 wird, müssen die Steigungen gleich sein,
also f'( $- 1$ )= $- 2 t^{2}$ soll gleich $- 18$ sein.
Dazu lösen wir die Gleichung $- 2 t^{2}$ = $- 18$ nach t auf.

$- 2 t^{2}$	=	$- 18$	\|: $(- 2)$
$t^{2}$	=	$9$	\| $\sqrt[2]{\cdot}$
t₁	=	$- \sqrt{9}$	= $- 3$
t₂	=	$\sqrt{9}$	= $3$

Für t= $- 3$ und t= $3$ ist also die Tangente parallel zu der gegebenen Gerade.