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Binomialvert. Abstand vom Erwartungswert

Beispiel:

Ein Basketballspieler hat eine Trefferquote von p=50%. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass er bei 97 Versuchen nicht mehr als 10% von seinem Erwartungswert abweicht?

Lösung einblenden

Den Erwartungswert berechnet man als E=n⋅p=97⋅0.5 = 48.5

Die 10% Abweichung wären dann zwischen 90% von 48.5, also 0.9⋅ 48.5 = 43.65 und 110% von 48.5, also 1.1⋅ 48.5 = 53.35

Da die Trefferzahl ja nicht weiter von 48.5 entfernt sein darf als 43.65 bzw. 53.35, muss sie also zwischen 44 und 53 liegen.

Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Treffer an. X ist binomialverteilt mit n=97 und p=0.5.

P0.597 (44≤X≤53) =

...
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
...

P0.597 (X≤53) - P0.597 (X≤43) ≈ 0.845 - 0.155 ≈ 0.69
(TI-Befehl: binomcdf(97,0.5,53) - binomcdf(97,0.5,43))

n und p aus Erwartungswert und Standardabw.

Beispiel:

Bei einer Binomialverteilung sind der Erwartungswert μ = 20 und die Standardabweichung σ = 4 bekannt.

Bestimme die Parameter n (Stichprobengröße) und p (Einzelwahrscheinlichkeit) dieser Binomialverteilung.

Lösung einblenden

Für den Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ gelten die Formeln:
(1) μ = n ⋅ p, also 20 = n ⋅ p
(2) σ = n ⋅ p ⋅ (1-p)

Setzt man nun 4 für σ und 20 für n ⋅ p in die 2. Formel ein, so erhält man:

4 = 20⋅ (1-p)

(wenn man nun auf beiden Seiten quadriert braucht man anschließend keine Probe, weil wir es ausschließlich mit positiven Werten zu tun haben)

16 = 20 ⋅ (1-p) |:20

16 20 = 1-p

4 5 = 1-p

Also gilt p = 1 - 4 5 = 1 5

Jetzt kann man das n einfach durch Einsetzen von p in (1) bestimmen:

20 = n ⋅ 1 5 |⋅ 5

Somit gilt: n = 100