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Arithmetische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine arithmetische Folge gilt a₈ = $9$ und a₂₀ = $18$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Bei einer arithmetischen Folge kommt ja mit jedem n-Schritt gleich viel dazu. Das heißt bei den 12 Schritten zwischen a₈ und a₂₀ kommt ja insgesamt $18$ - 9 = $9$ dazu, also pro 1 n kommt $\frac{9}{12}$ = $\frac{3}{4}$ .

Somit hat die arithmetischen Folge den Folgenterm a_n = $\frac{3}{4} n + d$ .

Um nun noch das d zu bestimmen, müssen wir einach einen der beiden Werte, z.B.: a₈ = $9$ einsetzen:

$9$ = $\frac{3}{4} \cdot 8 + d$

$9$ = $6 + d$ | -6

3 = d

Somit gilt für den arithmetischen Folgenterm: a_n = $\frac{3}{4} n + 3$ .

geometrische Folge bestimmen

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₀ = $\frac{3}{4}$ und a₁ = $\frac{15}{4}$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₀ = $\frac{3}{4}$ und a₁ = $\frac{15}{4}$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{4}$ = $c \cdot 1$
II: $\frac{15}{4}$ = $c \cdot a$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{4}$ = c. Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $\frac{15}{4}$ = $\frac{3}{4} a$

$\frac{3}{4} a$	=	$\frac{15}{4}$	\|⋅ 4
$3 a$	=	$15$	\|: $3$
$a$	=	$5$

Von oben (I) wissen wir bereits: $\frac{3}{4}$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $\frac{3}{4} \cdot 5^{n}$

geometrische Folge bestimmen (schwerer)

Beispiel:

Für eine geometrische Folge gilt a₂ = $4$ und a₅ = $32$ . Bestimme den Folgenterm in expliziter Schreibweise.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Folgenwerte a₂ = $4$ und a₅ = $32$ in den allgemeinen geometrischen Folgenterm a_n = $c \cdot a^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $4$ = $c \cdot a^{2}$
II: $32$ = $c \cdot a^{5}$

Wenn wir I mit a durchdividieren, erhalten wir

I: $4$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c.

Dies können wir gleich in II einsetzen und nach a auflösen:

II: $32$ = $\frac{4}{a^{2}} \cdot a^{5}$

also

II: $32$ = $4 a^{3}$

$4 a^{3}$	=	$32$	\|: $4$
$a^{3}$	=	$8$	\| $\sqrt[3]{\cdot}$
$a$	=	$\sqrt[3]{8}$	= $2$

Von oben (I) wissen wir bereits: $4$ ⋅ $\frac{1}{a^{2}}$ = c

mit a= $2$ eingesetzt erhalten wir so: $1$ = c

Der gesuchte Folgenterm a_n ist somit: a_n = $2^{n}$