Wir sehen in der Skizze, dass man den Verbindungsvektor zwischen B und C zum Ortsvektor von A addieren muss, um den Ortsvektor von D zu erhalten:

$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = $\left(\begin{array}{c}-5\\ -3\\ -11\end{array}\right)$ + $\left(\begin{array}{c}-16\\ 5\\ -23\end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c}-21\\ 2\\ -34\end{array}\right)$

Der Gesuchte Punkt ist also D$\left(-21|2|-34\right)$.

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ 32\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-16\\ 5\\ -23\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}16\\ 4\\ 32\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-16\\ 5\\ -23\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-23\right)-32·5\\ 32·\left(-16\right)-16·\left(-23\right)\\ 16·5-4·\left(-16\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-92-160\\ -512+368\\ 80+64\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-252\\ -144\\ 144\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-252)}}^2+{\mathrm{(-144)}}^2+{144}^2}=\sqrt{104976}=324$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 324.

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ -4\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}8\\ 4\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}7\\ 5\\ -4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4·\left(-4\right)-\left(-8\right)·5\\ -8·7-8·\left(-4\right)\\ 8·5-4·7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-16+40\\ -56+32\\ 40-28\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}24\\ -24\\ 12\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{24}^2+{\mathrm{(-24)}}^2+{12}^2}=\sqrt{1296}=36$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 36 = 18.

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD:

Berechnung der Grundfläche

Den Flächeninhalt des Parallelogramms berechnet man am einfachsten mit dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu nehmen wir die Seitenvektoren
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -8\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -14\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-14\right)-\left(-8\right)·7\\ -8·0-\left(-24\right)·\left(-14\right)\\ -24·7-12·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168+56\\ 0-336\\ -168+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-112\\ -336\\ -168\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}-112\\ -336\\ -168\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{\mathrm{(-112)}}^2+{\mathrm{(-336)}}^2+{\mathrm{(-168)}}^2}=\sqrt{153664}=392$ entspricht dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Der gesuchte Flächeninhalt ist somit A = |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = 392.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Parallelogramm liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B, C und D aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -8\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -14\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht:

Weil beim Vektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -14\end{array}\right)$ in der x₁-Koordinate eine 0 steht, wäre ja der Vektor $\left(\begin{array}{c}t\\ 14\\ 7\end{array}\right)$ für jedes t orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -14\end{array}\right)$, denn $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -14\end{array}\right)$∘$\left(\begin{array}{c}t\\ 14\\ 7\end{array}\right)$=$0\cdot \mathrm{<mi>t</mi>}+7\cdot 14+\mathrm{(-14)}\cdot 7=0\mathrm{+98}-98=0$.

Nun müssen wir noch das t so bestimmen, dass auch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -8\end{array}\right)$⋅$\left(\begin{array}{c}t\\ 14\\ 7\end{array}\right)$ = -24⋅t +112 = 0 wird, also t=$\frac{14}{3}$ = $\frac{14}{3}$.

Der gesuchte Normalenvektor ist also $\overrightarrow{n}$ = $\left(\begin{array}{c}\frac{14}{3}\\ 14\\ 7\end{array}\right)$ = $\frac{1}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}14\\ 42\\ 21\end{array}\right)$ = $\frac{7}{3}$⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$

Alternativ dazu hätte man auch das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) berechnen können: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -8\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -14\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12·\left(-14\right)-\left(-8\right)·7\\ -8·0-\left(-24\right)·\left(-14\right)\\ -24·7-12·0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-168+56\\ 0-336\\ -168+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-112\\ -336\\ -168\end{array}\right)$

= -56⋅$\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-24\\ 12\\ -8\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 7\\ -14\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 3\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 6\\ 3\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $2x_1+6x_2+3x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|-4|3\right)$ erhält man
d = $2\cdot 3+6\cdot \mathrm{(-4)}+3\cdot 3$
also:

$2x_1+6x_2+3x_3=-9$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|2\cdot 6+6\cdot 19+3\cdot 4+9|}{\sqrt{2^2+6^2+3^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 392 · 21 = 2744

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich als ein Drittel der Grundfläche mal zugehörige Höhe. Wir berechnen also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks ABC:

Berechnung der Grundfläche des Dreiecks ABC

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Dazu berechnen wir zuerst die Seitenvektoren $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 9\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 13\end{array}\right)$.

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·13-9·12\\ 9·\left(-18\right)-\left(-6\right)·13\\ -6·12-18·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}234-108\\ -162+78\\ -72+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ -84\\ 252\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}126\\ -84\\ 252\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{{126}^2+{\mathrm{(-84)}}^2+{252}^2}=\sqrt{86436}=294$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird.

Das gesuchte Dreieck hat also genau den halben Flächeninhalt: A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$| = $\frac{1}{2}$⋅ 294 = 147.

Um die Höhe des Punktes S auf der Grundfläche zu berechnen, müssen wir den Abstand von S zur Grund-Ebene, in der das Dreieck liegt, berechen, weil die Höhe ja immer orthogonal zur Grundfläche sein muss. Dazu müssen wir aber erstmal die Koordinatenebene der Grundfläche durch A, B und C aufstellen. Die Parametergleichung der Ebene ist E:$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 9\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 13\end{array}\right)$

Aufstellen der Koordinatengleichung

Wir berechnen einen Normalenvektor, der senkrecht zu den beiden Spannvektoren steht: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 9\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 13\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}18·13-9·12\\ 9·\left(-18\right)-\left(-6\right)·13\\ -6·12-18·\left(-18\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}234-108\\ -162+78\\ -72+324\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}126\\ -84\\ 252\end{array}\right)$ = 42⋅$\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$

Weil der Vektor $\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)$ orthogonal zu $\left(\begin{array}{c}-6\\ 18\\ 9\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-18\\ 12\\ 13\end{array}\right)$, also orthogonal zur Ebene und damit zu jedem Vektor in der Ebene ist, gilt die Normalengleichung der Ebene:
$[\overrightarrow{x}-\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 0\end{array}\right)]\circ \left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 6\end{array}\right)=0$
Unsere Ebenengleichung in Koordinatenform ist also $3x_1-2x_2+6x_3=\mathrm{d}$

Durch Einsetzen des Aufpunktes der Ebene A$\left(3|5|0\right)$ erhält man
d = $3\cdot 3+\mathrm{(-2)}\cdot 5+6\cdot 0$
also:

$3x_1-2x_2+6x_3=-1$

Die Höhe der Pyramide berechnen wir nun als Abstand von S zu unserer frisch errechneten Koordinatenebene. Dies geschieht mit der Hesse'schen Normalenform:

Wir berechnen den Abstand zwischen Punkt und Ebene mittels der Hesse'schen Normalenform.

$d=$ $\frac{|3\cdot 6-2\cdot (-4)+6\cdot 20+1|}{\sqrt{3^2+{(-2)}^2+6^2}}$
$=$ $\frac{\left|147\right|}{\sqrt{49}}$ $=$ $\frac{147}{7}$ = 21

Der Abstand von S zur Ebene E, also die Höhe ist h = 21.

Das Volumen der Pyramide ist dann V = $\frac{1}{3}$ · 147 · 21 = 1029

Am einfachsten berechnet man den Dreiecksflächeninhalt über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) von zwei Seitenvektoren. Da sowohl der Punkt A als auch der Punkt B auf der Geraden g liegt, kann man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ einfach als $\left(\begin{array}{c}-3t\\ 0t\\ 4t\end{array}\right)$ schreiben. Den anderen Seitenvektor berechnen wir als $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ = = $\left(\begin{array}{c}-13\\ 0\\ 9\end{array}\right)$.

Jetzt berechnen wir das Vektorprodukt in Abhängigkeit von t:

Von diesen beiden Vektoren berechnen wir nun das Vektorprodukt: $\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}-3t\\ 0t\\ 4t\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-13\\ 0\\ 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0·9-4t·0\\ 4t·\left(-13\right)-\left(-3t\right)·9\\ -3t·0-0·\left(-13\right)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0+0\\ -52t+27t\\ 0+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ -25t\\ 0\end{array}\right)$.

Der Betrag dieses Vektorproduktvektors |$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\left|$ \left(\begin{array}{c}0\\ -25t\\ 0\end{array}\right)$\right|$ = $\sqrt{0+625t^2+0}$ = $\sqrt{625t^2}$ = $\left|$ 25t$\right|$ entspricht ja gerade dem Flächeninhalt des Parallelogramms, das von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird. Das gesuchte Dreieck mit dem Flächeninhalt 37,5 hat genau den halben Flächeninhalt:
A = $\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ x $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$| = $\frac{1}{2}$ $\left|$ 25t$\right|$ = 37,5 |⋅2

$\left|$ 25t$\right|$ = 75

1. Fall

$25t$ = 75 |: 25

t = 3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(12-3t\right|-4+0t\left|-16+4t\right)$ ergibt
B₁$\left(3|-4|-4\right)$.

2. Fall

- $25t$ = 75 |: -25

t = -3

eingesetzt in den allgemeinen Geradenpunkt $G_t\left(12-3t\right|-4+0t\left|-16+4t\right)$ ergibt
B₂$\left(21|-4|-28\right)$.

Als erstes müssen wir natürlich die Spurpunkte bestimmen. Dazu setzen wir einfach allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $4x_1+2x_2+x_3=12$ ein.

S₁: => x=$\frac{12}{4}$=3, also S₁$\left(3|0|0\right)$
S₂: => y=$\frac{12}{2}$=6, also S₂$\left(0|6|0\right)$
S₃: => z=$12$=12, also S₃$\left(0|0|12\right)$

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ 3⋅6 = 9, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₃= 12 als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h
=$\frac{1}{3}$⋅9⋅12
=36

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$\mathrm{}{x}_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen) als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $\mathrm{}{x}_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{1}$, also S₁($\frac{d}{1}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet man mit der Formel A = $\frac{1}{2}$⋅g⋅h_g. Und weil ja die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, ist dieses Dreieck rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Ursprung O(0|0|0) und den beiden Katheten OS₁ und OS₃.

Somit gilt für den Flächeninhalt des Dreiecks OS₁S₃: A = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{1}$⋅$\frac{d}{2}$ = $\frac{d^2}{4}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{4}{d}^2$	=	$81$	|⋅$4$
$d^2$	=	$324$	|
d1	=	$-\sqrt{324}$	= $-18$
d2	=	$\sqrt{324}$	= $18$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+2x_3=18$

Aber auch E2: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+2x_3=-18$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-18|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-9). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $\mathrm{}{x}_1+3x_2+2x_3=18$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und das gesuchte Dreieck hätte somit den gleichen Flächeninhalt.

Da die Ebene E parallel zu F sein soll, können wir bei E den gleichen Normalenvektor wie bei F verwenden. Eine allgemeine Koordinatengleichung E ist somit:

$3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$

Wenn wir nun die Spurpunkte als allgemeine Punkte der Koordinatenachsen S₁(x|0|0), S₂(0|y|0) und S₃(0|0|z) in die Koordinatengleichung $3x_1+3x_2+2x_3=\mathrm{d}$ einsetzen, erhalten wir:

S₁: => x = $\frac{d}{3}$, also S₁($\frac{d}{3}$|0|0)
S₂: => y = $\frac{d}{3}$, also S₂(0|$\frac{d}{3}$|0)
S₃: => z = $\frac{d}{2}$, also S₃(0|0|$\frac{d}{2}$)

Das Volumen einer Pyramide berechnet man mit der Formel V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h

Als Grundfläche können wir theoretisch jede der 4 Seiten nehmen. Da ja aber die drei Koordinatenachsen alle zueinander orthogonal sind, bietet sich eine Grundfläche an, die den Ursprung O(0|0|0) beinhaltet:

So gilt beispielsweise im Dreieck OS₁S₂: G = $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$, weil das Dreieck OS₁S₂ rechtwinklig ist (schließlich sind ja die x₁-Achse und die x₂-Achse orthogonal.)

Und weil ja die x₃-Achse orthogonal zur x₁-x₂-Ebene und damit zu G ist, können wir die Strecke OS₂= $\frac{d}{2}$ als Höhe der Pyramide verwenden.

Damit gilt für das Volumen der Pyramide:
V = $\frac{1}{3}$⋅G⋅h = $\frac{1}{3}$ ⋅ $\frac{1}{2}$⋅$\frac{d}{3}$⋅$\frac{d}{3}$⋅ $\frac{d}{2}$ = $\frac{d^3}{108}$

Für das Volumen ergibt sich also die Gleichung:

$\frac{1}{108}{d}^3$	=	$54$	|⋅$108$
$d^3$	=	$5832$	|
$d$	=	$\sqrt[3]{5832}$	= $18$

Somit ergibt sich als gesuchte Ebene E: $3x_1+3x_2+2x_3=18$

Aber auch E2: $3x_1+3x_2+2x_3=-18$ ist eine Lösung.

In diesem Fall wären die Spurpunkte eben S₁(-6|0|0), S₂(0|-6|0) und S₃(0|0|-9). Die Spurpunktpyramide wäre also gegenüber der von E: $3x_1+3x_2+2x_3=18$ einfach am Koordinatenursprung gespiegelt und hätte somit das gleiche Volumen.