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Lösen eines 3x3-LGS (eindeutige Lsg.)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

2x1 +2x2 +4x3 = -10 (I) -2x1 +x2 -13x3 = -5 (II) -4x1 -2x2 -18x3 = 10 (III)

Lösung einblenden
2x1 +2x2 +4x3 = -10 (I) -2x1 +x2 -13x3 = -5 (II) -4x1 -2x2 -18x3 = 10 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) + 1·(II)

2·(I) + 1·(III)

2x1 2x2 4x3 = -10 (I) ( 2 -2 )x1 +( 2 +1 )x2 +( 4 -13 )x3 = ( -10 -5 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( 4 -2 )x2 +( 8 -18 )x3 = ( -20 +10 ) (III)
2x1 +2x2 +4x3 = -10 (I) +3x2 -9x3 = -15 (II) +2x2 -10x3 = -10 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) -3·(III)

2x1 2x2 4x3 = -10 (I) 3x2 -9x3 = -15 (II) +( 6 -6 )x2 +( -18 +30 )x3 = ( -30 +30 ) (III)
2x1 +2x2 +4x3 = -10 (I) +3x2 -9x3 = -15 (II) +12x3 = 0 (III)
Zeile (III): +12x3 = 0

x3 = 0

eingesetzt in Zeile (II):

+3x2 -9·(0 ) = -15

x2 = -5

eingesetzt in Zeile (I):

2x1 +2·(-5 ) +4·(0 ) = -10 | +10
2 x1 = 0 | : 2

x1 = 0

L={(0 |-5 |0 )}

3x3-LGS (unendliche Lösungsmenge)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

3x1 +x2 -5x3 = 0 (I) x1 +4x2 -7x3 = -33 (II) x1 -7x2 +9x3 = 66 (III)

Lösung einblenden
3x1 +x2 -5x3 = 0 (I) x1 +4x2 -7x3 = -33 (II) x1 -7x2 +9x3 = 66 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -3·(II)

1·(I) -3·(III)

3x1 1x2 -5x3 = 0 (I) ( 3 -3 )x1 +( 1 -12 )x2 +( -5 +21 )x3 = (0 +99 ) (II) ( 3 -3 )x1 +( 1 +21 )x2 +( -5 -27 )x3 = (0 -198 ) (III)
3x1 +x2 -5x3 = 0 (I) -11x2 +16x3 = 99 (II) +22x2 -32x3 = -198 (III)

langsame Rechnung einblenden2·(II) + 1·(III)

3x1 1x2 -5x3 = 0 (I) -11x2 16x3 = 99 (II) +( -22 +22 )x2 +( 32 -32 )x3 = ( 198 -198 ) (III)
3x1 +x2 -5x3 = 0 (I) -11x2 +16x3 = 99 (II) 0 = 0 (III)
Setze x3 = t

eingesetzt in Zeile (II):

-11x2 +16·(0+t ) = 99 | -0-16 t
-11 x2 = 99 -16 t | : (-11)

x2 = -9 + 16 11 t

eingesetzt in Zeile (I):

3x1 +(-9 + 16 11 t ) -5·(0+t ) = 0 | +9+ 39 11 t
3 x1 = 9 + 39 11 t | : 3

x1 = 3 + 13 11 t

L={(3 + 13 11 t|-9 + 16 11 t|0+t )}

Um die Zahlen noch etwas schöner zu machen ersetzen wir t durch t= 11s:

L={(3 +13 s|-9 +16 s|0+11 s )}

3x3-LGS (mit Parameter rechts)

Beispiel:

Löse das folgende Lineare Gleichungssystem!

2x1 -2x2 -1x3 = -16 (I) 2x1 -8x2 +5x3 = -28 (II) 4x1 -10x2 -2x3 = -12r -44 (III)

Lösung einblenden
2x1 -2x2 -1x3 = -16 (I) 2x1 -8x2 +5x3 = -28 (II) 4x1 -10x2 -2x3 = -12r -44 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(I) -1·(II)

2·(I) -1·(III)

2x1 -2x2 -1x3 = -16 (I) ( 2 -2 )x1 +( -2 +8 )x2 +( -1 -5 )x3 = ( -16 +28 ) (II) ( 4 -4 )x1 +( -4 +10 )x2 +( -2 +2 )x3 = ( -32 + 12r +44 ) (III)
2x1 -2x2 -1x3 = -16 (I) +6x2 -6x3 = 12 (II) +6x2 = 12r +12 (III)

langsame Rechnung einblenden1·(II) -1·(III)

2x1 -2x2 -1x3 = -16 (I) 6x2 -6x3 = 12 (II) +( 6 -6 )x2 +( -6 +0)x3 = ( 12 + ( -12r -12 ) ) (III)
2x1 -2x2 -1x3 = -16 (I) +6x2 -6x3 = 12 (II) -6x3 = -12 r (III)
Zeile (III): -6x3 = -12 r

x3 = 2 r

eingesetzt in Zeile (II):

+6x2 -6·(2 r ) = 12
+6x2 -12 r = 12 | +12 r
6 x2 = 12r +12 | : 6

x2 = 2r +2

eingesetzt in Zeile (I):

2x1 -2·( 2r +2 ) -1(2 r ) = -16
2x1 + ( -4r -4 ) -2 r = -16 | + 6r +4
2 x1 = 6r -12 | : 2

x1 = 3r -6

L={( 3r -6 | 2r +2 |2 r )}