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Termbestimmung mit Punktproben

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A(1| $\frac{3}{4}$ ) und B(-2| $- 24$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A(1| $\frac{3}{4}$ ) und B(-2| $- 24$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $\frac{3}{4}$ = $a \cdot 1^{n}$
II: $- 24$ = $a \cdot {(- 2)}^{n}$

Aus I ergibt sich ja sofort $\frac{3}{4}$ = a. Dies können wir gleich in II einsetzen:

II: $- 24$ = $\frac{3}{4} \cdot {(- 2)}^{n}$ | ⋅ $\frac{4}{3}$

$- 32$ = ${(- 2)}^{n}$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $5$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{3}{4} x^{5}$

Termbestimmung mit Punktproben II

Beispiel:

Bestimme a und n so, dass die Punkte A( $2$ | $2$ ) und B( $6$ | $54$ ) auf dem Graphen der Funktion f mit $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ liegen.

Lösung einblenden

Wir setzen einfach die beiden Punkte A( $2$ | $2$ ) und B( $6$ | $54$ ) in den Funktionsterm $f(x) =$ $a \cdot x^{n}$ ein und erhalten so die beiden Gleichungen:

I: $2$ = $a \cdot 2^{n}$
II: $54$ = $a \cdot 6^{n}$

Jetzt lösen wir mal die beiden Gleichungen nach a auf:

I: $\frac{2}{2^{n}}$ = a
II: $\frac{54}{6^{n}}$ = a

Da in beiden Gleichungen die Terme links =a sind, können wir diese gleichsetzen:

$\frac{2}{2^{n}}$ = $\frac{54}{6^{n}}$ | ⋅ $2^{n}$ ⋅ $6^{n}$

$2$ ⋅ $6^{n}$ = $54$ ⋅ $2^{n}$

Jetzt muss man eben erkennen, dass $6^{n}$ = ${(3 \cdot 2)}^{n}$ = $3^{n}$ ⋅ $2^{n}$ ist.

$2 \cdot 3^{n} \cdot 2^{n}$ = $54 \cdot 2^{n}$ | : $2^{n}$

$2 \cdot 3^{n}$ = $54$ | : $2$

$3^{n}$ = $27$

Durch Ausprobieren mit ganzzahligen n erhält man so n= $3$

n= $3$ eingesetzt in I:

I: $2$ = $a \cdot 2^{3}$

I: $2$ = $8 a$ | ⋅ $\frac{1}{8}$

also a= $\frac{1}{4}$

Der gesuchte Funktionsterm ist somit: $f(x) =$ $\frac{1}{4} x^{3}$